与えられた図形と方程式に関する8つの問題に答えます。

1. 問題の内容

与えられた図形と方程式に関する8つの問題に答えます。

2. 解き方の手順

(1) 2点A(-1, 2), B(7, 6)に対して、線分ABを1:3に内分する点の座標を求める。

内分点の公式より、$\left(\frac{3(-1) + 1(7)}{1+3}, \frac{3(2) + 1(6)}{1+3}\right) = \left(\frac{-3 + 7}{4}, \frac{6+6}{4}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{12}{4}\right) = (1, 3)$

(2) 2点(-3, -2), (5, 4)を通る直線の方程式を求める。

傾きは $\frac{4 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

点(5, 4)を通るので、$y - 4 = \frac{3}{4}(x - 5)$。

$4(y - 4) = 3(x - 5)$

$4y - 16 = 3x - 15$

$3x - 4y + 1 = 0$

(3) 点(5, 2)を通り、直線2x - 3y + 1 = 0に平行な直線の方程式を求める。

平行な直線なので、傾きは等しい。2x - 3y + 1 = 0より、3y = 2x + 1なので、$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$。

傾きは$\frac{2}{3}$。

点(5, 2)を通るので、$y - 2 = \frac{2}{3}(x - 5)$

$3(y - 2) = 2(x - 5)$

$3y - 6 = 2x - 10$

$2x - 3y - 4 = 0$

(4) 原点を通り、直線x + 3y + 8 = 0に垂直な直線の方程式を求める。

$x + 3y + 8 = 0$より、$3y = -x - 8$なので、$y = -\frac{1}{3}x - \frac{8}{3}$。

傾きは$-\frac{1}{3}$。

垂直な直線の傾きは3。

原点を通るので、$y = 3x$

(5) 点(1, -2)と直線x + 2y + 1 = 0の距離を求める。

点と直線の距離の公式より、$\frac{|1 + 2(-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(6) 中心の座標が(-2, 1), 半径3の円の方程式を求める。

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

(7) 中心の座標が(3, -4)でx軸と接する円の方程式を求める。

x軸に接するので、半径は中心のy座標の絶対値である。半径は4。

$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$

(8) 円x^2 + y^2 = 5上の点(2, -1)における接線の方程式を求める。

接線の公式より、$2x - y = 5$

3. 最終的な答え

(1) (1, 3)

(2) 3x - 4y + 1 = 0

(3) 2x - 3y - 4 = 0

(4) y = 3x

(5) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(6) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

(7) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$

(8) 2x - y = 5