幾何ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -7 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -8 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。 (a) 幾何ベクトル $-9\vec{a} + 9\vec{b}$ の成分表示を求めます。 (b) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ と大きさ $|\vec{a}|, |\vec{b}|$ を求めます。 (c) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を $\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を用いて計算し、$\theta$ の近似値を求めます。 (d) 成分表示が $\vec{c} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}$ であるような幾何ベクトル $\vec{c}$ を、$\vec{a}$ 方向と $\vec{b}$ 方向に分解します。すなわち、$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を満たす実数 $x, y$ を求めます。

1. 問題の内容

幾何ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -7 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -8 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。

(a) 幾何ベクトル $-9\vec{a} + 9\vec{b}$ の成分表示を求めます。

(b) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ と大きさ $|\vec{a}|, |\vec{b}|$ を求めます。

(c) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を $\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を用いて計算し、$\theta$ の近似値を求めます。

(d) 成分表示が $\vec{c} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}$ であるような幾何ベクトル $\vec{c}$ を、$\vec{a}$ 方向と $\vec{b}$ 方向に分解します。すなわち、$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を満たす実数 $x, y$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $-9\vec{a} + 9\vec{b} = -9\begin{bmatrix} 2 \\ -7 \end{bmatrix} + 9\begin{bmatrix} -8 \\ 1 \end{bmatrix}$ を計算します。

$-9\vec{a} + 9\vec{b} = \begin{bmatrix} -18 \\ 63 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -72 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -18 - 72 \\ 63 + 9 \end{bmatrix}$

(b) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = a_1b_1 + a_2b_2$ を計算します。

$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = (2)(-8) + (-7)(1) = -16 - 7$

大きさ $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ と $|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1}$

(c) $\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を計算し、$\theta = \arccos (\cos \theta)$ の近似値を求めます。

(d) $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を成分で書き出すと、

$\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 2 \\ -7 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -8 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x - 8y \\ -7x + y \end{bmatrix}$

連立方程式

$2x - 8y = 7$

$-7x + y = -5$

を解いて $x, y$ を求めます。

$y = 7x - 5$ を $2x - 8y = 7$ に代入します。

$2x - 8(7x - 5) = 7$

$2x - 56x + 40 = 7$

$-54x = -33$

$x = \frac{33}{54} = \frac{11}{18}$

$y = 7(\frac{11}{18}) - 5 = \frac{77}{18} - \frac{90}{18} = -\frac{13}{18}$

3. 最終的な答え

(a) $-9\vec{a} + 9\vec{b} = \begin{bmatrix} -90 \\ 72 \end{bmatrix}$

(b) $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = -23$, $|\vec{a}| = \sqrt{53}$, $|\vec{b}| = \sqrt{65}$

(c) $\cos \theta = \frac{-23}{\sqrt{53}\sqrt{65}} = \frac{-23}{\sqrt{3445}} \approx \frac{-23}{58.69} \approx -0.392$, $\theta \approx 113^\circ$

(d) $x = \frac{11}{18}$, $y = -\frac{13}{18}$