2つの円 $x^2+y^2=25$ と $(x-1)^2+(y-2)^2=20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2+y^2=25$ と $(x-1)^2+(y-2)^2=20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円 $x^2+y^2=25$ と $(x-1)^2+(y-2)^2=20$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2+y^2-25 + k((x-1)^2+(y-2)^2-20)=0$

と表せる。この円が原点(0,0)を通るので、 $x=0$, $y=0$ を代入すると、

$-25 + k((0-1)^2+(0-2)^2-20) = 0$

$-25 + k(1+4-20) = 0$

$-25 -15k = 0$

$k = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3}$

これを代入すると、

$x^2+y^2-25 -\frac{5}{3}((x-1)^2+(y-2)^2-20)=0$

$3(x^2+y^2-25) -5(x^2-2x+1+y^2-4y+4-20) = 0$

$3x^2+3y^2-75 -5x^2+10x-5-5y^2+20y-20+100 = 0$

$-2x^2-2y^2+10x+20y = 0$

$2x^2+2y^2-10x-20y = 0$

$x^2+y^2-5x-10y=0$

$(x-\frac{5}{2})^2 + (y-5)^2 = (\frac{5}{2})^2+5^2 = \frac{25}{4}+25=\frac{25+100}{4}=\frac{125}{4}$

よって、中心の座標は $(\frac{5}{2}, 5)$ であり、半径は $\sqrt{\frac{125}{4}} = \sqrt{\frac{25\times 5}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

中心の座標: $(\frac{5}{2}, 5)$

半径: $\frac{5\sqrt{5}}{2}$