直線 $y = 2x + k$ が円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える問題です。 * 定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 * 2つの交点を結ぶ線分の長さが最大となるような $k$ の値を求めよ。 * このとき、2つの交点の $x$ 座標をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + k$ が円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える問題です。

* 定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

* 2つの交点を結ぶ線分の長さが最大となるような $k$ の値を求めよ。

* このとき、2つの交点の $x$ 座標をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

* 円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

この円は中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円です。

* 直線 $y = 2x + k$ が円と異なる2点で交わる条件を求めます。

円の中心 $(0, 1)$ と直線 $2x - y + k = 0$ との距離 $d$ が半径 $1$ より小さければよいです。

$d = \frac{|2(0) - 1 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{5}}$

$\frac{|k - 1|}{\sqrt{5}} < 1$

$|k - 1| < \sqrt{5}$

$-\sqrt{5} < k - 1 < \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < k < 1 + \sqrt{5}$

* 2つの交点を結ぶ線分の長さが最大になるのは、直線が円の中心を通るときです。

$y = 2x + k$ が $(0, 1)$ を通るとき、 $1 = 2(0) + k$ より $k = 1$

* $k = 1$ のとき、直線は $y = 2x + 1$ となります。円の方程式 $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ に代入して、$x$ を求めます。

$x^2 + (2x + 1 - 1)^2 = 1$

$x^2 + (2x)^2 = 1$

$x^2 + 4x^2 = 1$

$5x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{5}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

* $k$ の値の範囲: $1 - \sqrt{5} < k < 1 + \sqrt{5}$

* $k$ の値: $1$

* 2つの交点の $x$ 座標: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$