長方形ABCDにおいて、AB=6cm, AD=12cmである。点PはAを出発しDを通りCまで毎秒1cmで進み、点QはCを出発しBまで毎秒2cmで進む。P,Qが同時に出発してからx秒後の四角形ABQPの面積をy cm$^2$とする。ただし、$0 \le x \le 18$とする。 (1) $x=2$のときのyの値を求めよ。 (2) xとyの関係を表すグラフとして正しいものを選択肢ア～エの中から選び、記号で答えよ。 (3) 面積が22cm$^2$になるのは何秒後か求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=6cm, AD=12cmである。点PはAを出発しDを通りCまで毎秒1cmで進み、点QはCを出発しBまで毎秒2cmで進む。P,Qが同時に出発してからx秒後の四角形ABQPの面積をy cm$^2$とする。ただし、$0 \le x \le 18$とする。

(1) $x=2$のときのyの値を求めよ。

(2) xとyの関係を表すグラフとして正しいものを選択肢ア～エの中から選び、記号で答えよ。

(3) 面積が22cm$^2$になるのは何秒後か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$のとき、AP=2cm, CQ=4cmなので、BQ=6-4=2cmとなる。四角形ABQPの面積yは、台形ABQPの面積として求められる。

$y = \frac{1}{2}(AP + BQ) \times AB = \frac{1}{2}(2+2) \times 6 = \frac{1}{2}(4) \times 6 = 12$

(2)

* $0 \le x \le 6$のとき、点Pは辺AD上にある。$AP=x, CQ=2x$なので、$BQ = 6-2x$。

$y = \frac{1}{2}(x + 6 - 2x) \times 6 = \frac{1}{2}(6-x) \times 6 = 18 - 3x$

これは右下がりの直線。

* $6 \le x \le 12$のとき、点Pは辺DC上にある。$AP= x$より、$PD= x-6$, $PC = 12 - (x - 6) = 18-x$

点Qは点Bに到着しているので、四角形ABQPの面積は長方形ABCDから三角形PCQを引いた面積である。

長方形ABCDの面積は$6 \times 12 = 72$。

$CQ = 6$, $PC = x$

この条件の面積は $y = 72 - 1/2*(x-6)*6 = 72 - 3x+18 = 90 - 3x$.

$x = 6$ の時 $y= 18 -3*6 = 0$, $x=6$　の時、$y= 90 - 3*6 = 72$

なので、6秒でPがDに到着する。

ABQP = ABCD - PQC

$y = 12 * 6 - 1/2 *6 * (18 -x) = 72 - 3* (18-x) = 72 - 54 +3x = 3x + 18$

$6 \le x \le 18$の間、面積yは増え続ける。$x=12$でPはCに到着し$y= 3*12+ 18 = 36+ 18 = 54$ cm$^2$

このグラフはウの形である。

(3)

$0 \le x \le 6$のとき、$y = 18 - 3x = 22$なので、$3x = 18 - 22 = -4$。これは$x$が正の値ではないので不適。

$6 \le x \le 12$のとき、$y = 3x+18 = 22$なので、$3x = 22 - 18 = 4$。したがって、$x = \frac{4}{3}$。

$12 \le x \le 18$のとき、$0 \le x \le 6$のとき、$y = 3x+18$, の間違い

よって$y =3x + 18 =22; 3x=4; x= 4/3= 1.3$なので0から6秒の間。だから不適

3. 最終的な答え

(1) 12 cm$^2$

(2) ウ

(3) なし