三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、以下の問いに答える。 (1) 三角形ABCの外接円の半径$R$を求めよ。 (2) 三角形ABCの内接円の半径$r$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、以下の問いに答える。

(1) 三角形ABCの外接円の半径$R$を求めよ。

(2) 三角形ABCの内接円の半径$r$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 外接円の半径$R$を求める。

まず、余弦定理を用いて角$C$の余弦を求める。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$より、

$4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos{C}$

$16 = 4 + 9 - 12\cos{C}$

$12\cos{C} = -3$

$\cos{C} = -\frac{1}{4}$

次に、$\sin{C}$を求める。

$\sin^2{C} + \cos^2{C} = 1$より、

$\sin^2{C} = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin{C} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (∵$0 < C < \pi$より$\sin{C}>0$)

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin{C}} = 2R$

$2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) 内接円の半径$r$を求める。

三角形の面積$S$を求める。

$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

また、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$より、

$\frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{2}r(2+3+4)$

$\frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{9}{2}r$

$r = \frac{3\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径$R = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) 内接円の半径$r = \frac{\sqrt{15}}{6}$