直線 $4x + 3y - 5 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ によって切り取られてできる線分の長さを求めます。

1. 問題の内容

直線 $4x + 3y - 5 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ によって切り取られてできる線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、円の中心から直線までの距離 $d$ を求めます。円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r = 2$ です。直線 $4x + 3y - 5 = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられます。

今回の場合は、$(x_0, y_0) = (0, 0)$ であり、$a = 4$, $b = 3$, $c = -5$ なので、

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

したがって、$d = 1$ です。

次に、切り取られる線分の長さを求めます。円の中心から直線に下ろした垂線と円との交点を考えます。この垂線と円の交点、直線の交点、そして、切り取られる線分の端点の3点で作られる直角三角形を考えます。この直角三角形の斜辺は円の半径 $r = 2$ であり、円の中心から直線までの距離は $d = 1$ です。切り取られる線分の半分を $l/2$ とすると、三平方の定理より、

$(l/2)^2 + d^2 = r^2$

$(l/2)^2 + 1^2 = 2^2$

$(l/2)^2 + 1 = 4$

$(l/2)^2 = 3$

$l/2 = \sqrt{3}$

したがって、$l = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

切り取られてできる線分の長さは $2\sqrt{3}$ です。