問題は2つあります。 (1) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = 20^\circ$、$\angle OBC = 30^\circ$ のとき、$\angle OCA$ の大きさを求める問題です。 (2) $\triangle ABC$ の内心を $I$ とするとき、$\angle IBC = 20^\circ$、$\angle ICB = 30^\circ$ のとき、$\angle BAC$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\triangle ABC$ の外心を $O$ とするとき、$\angle OAB = 20^\circ$、$\angle OBC = 30^\circ$ のとき、$\angle OCA$ の大きさを求める問題です。

(2) $\triangle ABC$ の内心を $I$ とするとき、$\angle IBC = 20^\circ$、$\angle ICB = 30^\circ$ のとき、$\angle BAC$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 外心の性質を利用します。外心は各頂点から等距離にあるので、$OA = OB = OC$ です。

$\triangle OAB$ は二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$。

$\triangle OBC$ は二等辺三角形なので、$\angle OCB = \angle OBC = 30^\circ$。

$\triangle OCA$ は二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA$。

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 20^\circ + \angle OCA$。

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$。

$\angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = 30^\circ + \angle OCA$。

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

$(20^\circ + \angle OCA) + 50^\circ + (30^\circ + \angle OCA) = 180^\circ$

$100^\circ + 2\angle OCA = 180^\circ$

$2\angle OCA = 80^\circ$

$\angle OCA = 40^\circ$

(2) 内心の性質を利用します。内心は各内角の二等分線の交点です。

$\angle IBC = 20^\circ$ なので、$\angle ABC = 2 \times \angle IBC = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$。

$\angle ICB = 30^\circ$ なので、$\angle ACB = 2 \times \angle ICB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$。

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle BAC + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC + 100^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC = 80^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\angle OCA = 40^\circ$

(2) $\angle BAC = 80^\circ$