点Iが三角形ABCの内心であるとき、図に示された$x$の角度を求める問題です。2つの図があり、それぞれ$x$を求める必要があります。

1. 問題の内容

点Iが三角形ABCの内心であるとき、図に示された$x$の角度を求める問題です。2つの図があり、それぞれ$x$を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

点Iが内心であることから、AIとBIはそれぞれ角Aと角Bの二等分線です。

角Bは$15^\circ$なので、角ABIも$15^\circ$です。

角Cは$25^\circ$なので、角ACIも$25^\circ$です。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、三角形ABCにおいて、

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A + 15^\circ \times 2 + 25^\circ \times 2 = 180^\circ$

$\angle A + 30^\circ + 50^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 80^\circ$

$\angle A = 100^\circ$

よって、角BAIは$100^\circ / 2 = 50^\circ$です。

三角形ABIにおいて、

$\angle BAI + \angle ABI + x = 180^\circ$

$50^\circ + 15^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 65^\circ$

$x = 115^\circ$

(2)

点Iが内心であることから、AIとBIはそれぞれ角Aと角Bの二等分線です。

角Bは$60^\circ$なので、角ABIは$60^\circ / 2 = 30^\circ$です。

角BAIは$35^\circ$なので、角Aは$35^\circ \times 2 = 70^\circ$です。

三角形ABCにおいて、

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$70^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 130^\circ$

$\angle C = 50^\circ$

よって、角ACIは$50^\circ / 2 = 25^\circ$です。

三角形IBCにおいて、

$\angle IBC + \angle ICB + x = 180^\circ$

$30^\circ + 25^\circ + x = 180^\circ$

$55^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 55^\circ$

$x = 125^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $115^\circ$

(2) $125^\circ$