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点Oが三角形ABCの外心であるとき、図に示された角度から$x$を求める問題です。全部で3つの図があります。

幾何学角度三角形外心二等辺三角形
2025/7/13

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、図に示された角度からxxを求める問題です。全部で3つの図があります。

2. 解き方の手順

(1)
点Oは三角形ABCの外心なので、OA = OB = OCです。
三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、∠OAB=∠OBA=20∘\angle OAB = \angle OBA = 20^\circです。
三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、∠OBC=∠OCB=30∘\angle OBC = \angle OCB = 30^\circです。
したがって、∠ABC=∠OBA+∠OBC=20∘+30∘=50∘\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circです。
同様に、∠BAC=20∘\angle BAC = 20^\circです。
三角形の内角の和は180∘180^\circなので、∠ACB=180∘−∠ABC−∠BAC=180∘−50∘−20∘=110∘\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 110^\circです。
∠OCB=30∘\angle OCB = 30^\circなので、x=∠OCA=∠ACB−∠OCB=110∘−30∘=80∘x = \angle OCA = \angle ACB - \angle OCB = 110^\circ - 30^\circ = 80^\circです。
(2)
点Oは三角形ABCの外心なので、OA = OB = OCです。
三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、∠OAB=∠OBA=30∘\angle OAB = \angle OBA = 30^\circです。
三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、∠OBC=∠OCB=x\angle OBC = \angle OCB = xです。
三角形OCAはOC=OAの二等辺三角形なので、∠OCA=∠OAC=60∘\angle OCA = \angle OAC = 60^\circです。
∠BAC=∠OAB+∠OAC=30∘+60∘=90∘\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circです。
三角形の内角の和は180∘180^\circなので、∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circです。
∠ACB=∠OCB+∠OCA=x+60∘\angle ACB = \angle OCB + \angle OCA = x + 60^\circなので、
30∘+x+x+60∘+90∘=180∘30^\circ + x + x + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ
2x+180∘=180∘2x + 180^\circ = 180^\circ
2x=02x = 0
x=0∘x = 0^\circ
しかしこれは明らかに図と矛盾するので、問題文か図に誤りがあります。∠A=60∘\angle A = 60^\circは∠OAC\angle OACではなく∠BAC\angle BACであると仮定して解き進めます。
∠OAC=60∘−30∘=30∘\angle OAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}
∠OCA=∠OAC=30∘\angle OCA = \angle OAC = 30^{\circ}
x=∠OCB=∠OBCx = \angle OCB = \angle OBC
∠ACB=x+30∘\angle ACB = x + 30^{\circ}
∠ABC=x+30∘\angle ABC = x + 30^{\circ}
60∘+x+30∘+x+30∘=180∘60^{\circ} + x + 30^{\circ} + x + 30^{\circ} = 180^{\circ}
2x+120∘=180∘2x + 120^{\circ} = 180^{\circ}
2x=60∘2x = 60^{\circ}
x=30∘x = 30^{\circ}
(3)
点Oは三角形ABCの外心なので、OA = OB = OCです。
三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、∠OAB=∠OBA=30∘\angle OAB = \angle OBA = 30^\circです。
三角形OCAはOC=OAの二等辺三角形なので、∠OCA=∠OAC=40∘\angle OCA = \angle OAC = 40^\circです。
∠BAC=∠OAB+∠OAC=30∘+40∘=70∘\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circです。
三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、∠OBC=∠OCB=x\angle OBC = \angle OCB = xです。
三角形の内角の和は180∘180^\circなので、∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circです。
∠ABC=∠OBA+∠OBC=30∘+x\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 30^\circ + xで、∠ACB=∠OCA+∠OCB=40∘+x\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 40^\circ + xです。
したがって、30∘+x+40∘+x+70∘=180∘30^\circ + x + 40^\circ + x + 70^\circ = 180^\circ
2x+140∘=180∘2x + 140^\circ = 180^\circ
2x=40∘2x = 40^\circ
x=20∘x = 20^\circ

3. 最終的な答え

(1) x=80∘x = 80^\circ
(2) x=30∘x = 30^\circ （ただし問題文に誤りがある場合）
(3) x=20∘x = 20^\circ

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