円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。 (1) $\cos \angle ABC$と円Pの半径を求める。 (2) CDと$\cos \angle BAD$を求める。 (3) BEと三角形ABEの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。

(1) $\cos \angle ABC$と円Pの半径を求める。

(2) CDと$\cos \angle BAD$を求める。

(3) BEと三角形ABEの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$4^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos \angle ABC$

$16 = 16 + 4 - 16 \cos \angle ABC$

$16 \cos \angle ABC = 4$

$\cos \angle ABC = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ABC} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

正弦定理より、円Pの半径Rは

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\cos \angle ADC = \cos (180^\circ - \angle ABC) = -\cos \angle ABC = -\frac{1}{4}$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$4^2 = 3^2 + CD^2 - 2 \cdot 3 \cdot CD \cdot (-\frac{1}{4})$

$16 = 9 + CD^2 + \frac{3}{2}CD$

$CD^2 + \frac{3}{2}CD - 7 = 0$

$2CD^2 + 3CD - 14 = 0$

$(2CD + 7)(CD - 2) = 0$

$CD = 2$ (CD > 0より)

$\triangle ABD$において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 16 + 9 - 24 \cos \angle BAD = 25 - 24 \cos \angle BAD$

$\triangle BCD$において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$BD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos \angle BCD$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$

$\cos \angle BCD = -\cos \angle BAD$

$BD^2 = 4 + 4 - 8(-\cos \angle BAD) = 8 + 8 \cos \angle BAD$

$25 - 24 \cos \angle BAD = 8 + 8 \cos \angle BAD$

$32 \cos \angle BAD = 17$

$\cos \angle BAD = \frac{17}{32}$

(3) $\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似なので

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{2} = 2$

$BE = 2DE$

$\triangle BCE$と$\triangle DAE$は相似なので

$\frac{AE}{CE} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{2}$

$\frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE+CE} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$

$AE = \frac{3}{5}AC = \frac{3}{5} \cdot 4 = \frac{12}{5}$

$\frac{CE}{AC} = \frac{CE}{AE+CE} = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$

$CE = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{8}{5}$

$\frac{BE}{DE} = 2$

$BE + DE = BD$

$BE + \frac{BE}{2} = BD$

$\frac{3}{2} BE = BD$

$BE = \frac{2}{3} BD$

$BD^2 = 8 + 8 \cos \angle BAD = 8 + 8 \cdot \frac{17}{32} = 8 + \frac{17}{4} = \frac{32+17}{4} = \frac{49}{4}$

$BD = \frac{7}{2}$

$BE = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{3}$

$\triangle ABE$の面積をSとする。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin \angle BAE$

$\angle BAE = \angle DAC$

$\cos \angle DAC = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2 \cdot AD \cdot AC} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

$\sin \angle DAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle DAC} = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{48\sqrt{15}}{80} = \frac{3\sqrt{15}}{5}$

$\triangle ABE$の内接円の半径をrとする。

$S = \frac{1}{2}r(AB+BE+AE)$

$AB+BE+AE = 4 + \frac{7}{3} + \frac{12}{5} = \frac{60+35+36}{15} = \frac{131}{15}$

$\frac{3\sqrt{15}}{5} = \frac{1}{2}r \cdot \frac{131}{15}$

$r = \frac{6\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{15}{131} = \frac{18\sqrt{15}}{131}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$、円Pの半径は$\frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) $CD = 2$、$\cos \angle BAD = \frac{17}{32}$

(3) $BE = \frac{7}{3}$、三角形ABEの内接円の半径は$\frac{18\sqrt{15}}{131}$