## 解答
### 問題の内容
1. 点Oが$\triangle ABC$の外心であるとき、$x$の値を求める問題です。 (画像左上の問題)
, が与えられています。
2. 点Oが$\triangle ABC$の外心であるとき、$x$の値を求める問題です。 (画像中央上の問題)
, が与えられています。
3. 点Iが$\triangle ABC$の内心であるとき、$x, y$の値を求める問題です。 (画像下の問題)
1. $\angle IBC = 30^\circ$, $\angle ICB = 40^\circ$ が与えられています。$x$を求める問題です。
2. $\angle IBC = 25^\circ$, $\angle ICB = 47^\circ$ が与えられています。$x, y$を求める問題です。
3. $\angle BIC = 80^\circ$ が与えられています。$x$を求める問題です。
### 解き方の手順
1. 外心の性質より、$OB = OC$なので、$\triangle OBC$は二等辺三角形です。したがって、$\angle BOC = 180^\circ - (33^\circ + 27^\circ) \times 2= 180^\circ - 60^\circ \times 2 = 60^\circ$, $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$より、$x = 60^\circ$となります。
2. 外心の性質より、$OA = OC$なので、$\triangle OAC$は二等辺三角形です。したがって、$\angle OCA = 21^\circ$, $OB = OC$なので、$\triangle OBC$は二等辺三角形です。したがって、$\angle OBC = 35^\circ$, $OC = OA$なので、$\triangle OCA$は二等辺三角形です。したがって、$\angle OAC = \angle OCA = 21^\circ$, $OA=OB$なので、$\triangle OAB$は二等辺三角形です。したがって、$\angle OAB = \angle OBA = x$, 角の和は$180^\circ$なので、$21 + 35 + x + x = 180$, よって $2x = 180 - 21 - 35 = 124$, $x = 62^\circ$となります。
3. 内心の性質より、
1. $\angle ABC = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$, $\angle ACB = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$。したがって、$x = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ$
2. $\angle ABC = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$, $\angle ACB = 2 \times 47^\circ = 94^\circ$。したがって、$x = 180^\circ - (50^\circ + 94^\circ) = 36^\circ$。$y = \frac{1}{2} x = 18^\circ$
3. $\angle BIC = 90^\circ + \frac{x}{2}$なので、$80 = 90 + \frac{x}{2}$が成り立ち、$x = -20^\circ$。これはあり得ないので$\angle BIC = 180 - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$, $\angle B + \angle C = 180 - \angle A = 180 - x$なので、$80 = 180 - \frac{1}{2}(180 - x)$，$160 = 360 - 180 + x$なので、$x = 160 - 360 + 180 = -20$, これはあり得ないので問題に誤りがある可能性があります。正しくは $\angle BIC = 90^\circ + \frac{x}{2}$ が成り立ちます。従って$80^\circ = 90^\circ + \frac{x}{2}$を解くと$x = -20^\circ$となります。
### 最終的な答え