2つの円の方程式が与えられています。 円1: $x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ 円2: $x^2 + y^2 + 2x = 1$ (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。 (2) 2つの円の交点をP, Qとするとき、2点P, Qと点(1, 0)を通る円の方程式を求める。 (3) 直線PQの方程式と弦PQの長さを求める。

## 回答

1. 問題の内容

2つの円の方程式が与えられています。

円1: $x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$

円2: $x^2 + y^2 + 2x = 1$

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。

(2) 2つの円の交点をP, Qとするとき、2点P, Qと点(1, 0)を通る円の方程式を求める。

(3) 直線PQの方程式と弦PQの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。

円1の中心と半径を求めます。

円1の方程式を平方完成すると、$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$ となります。

よって、円1の中心は(1, -2)、半径は$\sqrt{5}$です。

円2の中心と半径を求めます。

円2の方程式を平方完成すると、$(x + 1)^2 + y^2 = 2$ となります。

よって、円2の中心は(-1, 0)、半径は$\sqrt{2}$です。

中心間の距離を求めます。

中心間の距離は$\sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$です。

半径の和を求めます。

半径の和は$\sqrt{5} + \sqrt{2}$です。

半径の差の絶対値を求めます。

半径の差の絶対値は$|\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} - \sqrt{2}$です。

異なる2点で交わる条件: |半径の差| < 中心間の距離 < 半径の和

$\sqrt{5} - \sqrt{2} < 2\sqrt{2} < \sqrt{5} + \sqrt{2}$ が成り立つことを確認します。

$\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{2} \approx 1.414$ より、

$2.236 - 1.414 < 2(1.414) < 2.236 + 1.414$

$0.822 < 2.828 < 3.65$

これは正しいので、2つの円は異なる2点で交わります。

(2) 2つの円の交点P, Qと点(1, 0)を通る円の方程式を求める。

2つの円の交点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 2x + 4y + k(x^2 + y^2 + 2x - 1) = 0$ と表せます。

この円が点(1, 0)を通るので、代入します。

$1^2 + 0^2 - 2(1) + 4(0) + k(1^2 + 0^2 + 2(1) - 1) = 0$

$1 - 2 + k(1 + 2 - 1) = 0$

$-1 + 2k = 0$

$2k = 1$

$k = \frac{1}{2}$

これを代入して、

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + 2x - 1) = 0$

$2(x^2 + y^2 - 2x + 4y) + (x^2 + y^2 + 2x - 1) = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 2x + 8y - 1 = 0$

よって、求める円の方程式は $3x^2 + 3y^2 - 2x + 8y - 1 = 0$ です。

(3) 直線PQの方程式と弦PQの長さを求める。

直線PQの方程式は、2つの円の方程式の差をとることで求められます。

$(x^2 + y^2 - 2x + 4y) - (x^2 + y^2 + 2x - 1) = 0$

$-4x + 4y + 1 = 0$

$4x - 4y - 1 = 0$

よって、直線PQの方程式は $4x - 4y - 1 = 0$ です。

円2の中心(-1, 0)と直線$4x - 4y - 1 = 0$の距離dを求めます。

$d = \frac{|4(-1) - 4(0) - 1|}{\sqrt{4^2 + (-4)^2}} = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{16 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{32}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

弦PQの長さlを求めます。

弦PQの長さは$l = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ で求められます。ここで、$r = \sqrt{2}$は円2の半径です。

$l = 2\sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{5\sqrt{2}}{8})^2} = 2\sqrt{2 - \frac{50}{64}} = 2\sqrt{2 - \frac{25}{32}} = 2\sqrt{\frac{64 - 25}{32}} = 2\sqrt{\frac{39}{32}} = 2\frac{\sqrt{39}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{39}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{78}}{4}$

よって、弦PQの長さは $\frac{\sqrt{78}}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる（証明済み）。

(2) 2点P, Qと点(1, 0)を通る円の方程式: $3x^2 + 3y^2 - 2x + 8y - 1 = 0$

(3) 直線PQの方程式: $4x - 4y - 1 = 0$

弦PQの長さ: $\frac{\sqrt{78}}{4}$