与えられた図において、点Oは三角形ABCの外心、点Iは三角形ABCの内心である。それぞれの図において、角度 $x$ と $y$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた図において、点Oは三角形ABCの外心、点Iは三角形ABCの内心である。それぞれの図において、角度 $x$ と $y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Oが外心である場合:

外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。外心は三角形の外接円の中心となる。

三角形の内角の和は180°であるから、∠BAC = 180° - (25° + 30°) = 180° - 55° = 125°

外心Oについて、∠BOC = 2∠BAC = 2 * 125° = 250°

∠BOC = x なので、x = 250°

△OABはOA=OBの二等辺三角形である。∠OBA = ∠OAB = y

∠AOB = 360° - 250° - (360° - 250°)/2 = 360° - (360° - 250°) = 360° - 110° = 110°

ゆえに ∠AOB = 2x = 2 * 25° = 50°

∠BOC = 2∠BAC = 2 * (180 - (25 + 30)) = 2 * (180 - 55) = 2 * 125 = 250°

360°から250°を引くと、110°になる。∠BOC = 2x = 110° x= 55°

∠BAC = 125°

∠BOC = 2∠BAC = 250°

∠BAC = 125°

円周角の定理より、∠BOC = 2∠BAC = 2 * (180 - 25 - 30) = 2 * 125 = 250°

$x$は、360 - 250 = 110°

したがって、$x = 110^{\circ}$となる。

三角形の内角の和は180度なので、∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠BAC = 180 - 25 - 30 = 125°

外心Oから各頂点までの距離は等しいので、OA = OB。△OABは二等辺三角形。

∠OAB = ∠OBA = y

∠AOB = 2∠C = 2 * 30 = 60°

2y + 60 = 180 => 2y = 120 => y = 60

(2) 点Iが内心である場合:

内心は三角形の各内角の二等分線の交点である。内心は内接円の中心となる。

三角形の内角の和は180°であるから、∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°

∠ABC + 30° + 20° = 180°

∠ABC = 180 - 50 = 130°

BIは∠ABCの二等分線なので、y = ∠IBC = 130° / 2 = 65°

三角形の内角の和は180°であるから、x = 180 - y - 30° = 180 - 65 - 30 = 85°

3. 最終的な答え

(1) $x = 110^{\circ}$, $y = 60^{\circ}$

(2) $x = 85^{\circ}$, $y = 65^{\circ}$