与えられた円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 円上の点 $P(2,6)$ における接線の方程式を求めます。 (2) 2点 $A(0,2)$, $B(1,0)$ に対して、円上の動く点 $P$ について三角形 $PAB$ の面積を $S$ とするとき、$S$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 円上の点 $P(2,6)$ における接線の方程式を求めます。

(2) 2点 $A(0,2)$, $B(1,0)$ に対して、円上の動く点 $P$ について三角形 $PAB$ の面積を $S$ とするとき、$S$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は、

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ で与えられます。

今回の場合は、円の方程式が $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5$ であり、点 $P$ の座標が $(2,6)$ です。

したがって、$a = 3$, $b = 4$, $r^2 = 5$, $x_0 = 2$, $y_0 = 6$ となります。

これらを公式に代入すると、

$(2 - 3)(x - 3) + (6 - 4)(y - 4) = 5$

$-1(x - 3) + 2(y - 4) = 5$

$-x + 3 + 2y - 8 = 5$

$-x + 2y - 5 = 5$

$-x + 2y = 10$

$x - 2y + 10 = 0$

(2) まず、線分 $AB$ の長さを求めます。

$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

次に、直線 $AB$ の方程式を求めます。

傾きは $\frac{0 - 2}{1 - 0} = -2$ なので、$y = -2x + b$ となります。

点 $A(0,2)$ を通るので、$2 = -2(0) + b$ より、$b = 2$ となり、直線 $AB$ の方程式は $y = -2x + 2$ 、すなわち $2x + y - 2 = 0$ です。

点 $P$ と直線 $AB$ との距離 $d$ が最大となるとき、$S$ が最大になります。

円の中心 $(3,4)$ から直線 $AB$ までの距離 $D$ を求めます。

$D = \frac{|2(3) + 4 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 4 - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$

円の半径は $\sqrt{5}$ なので、$d$ の最大値は $D + \sqrt{5} = \frac{8}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{8 + 5}{\sqrt{5}} = \frac{13}{\sqrt{5}}$ です。

三角形 $PAB$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d$ で与えられるので、$S$ の最大値は

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{13}{\sqrt{5}} = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 10 = 0$

(2) $\frac{13}{2}$