3つの直線 $x - y + 1 = 0$, $2x + y - 2 = 0$, $x + 2y = 0$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - y + 1 = 0$, $2x + y - 2 = 0$, $x + 2y = 0$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

3つの直線の交点を求める。

直線1: $x - y + 1 = 0$

直線2: $2x + y - 2 = 0$

直線3: $x + 2y = 0$

直線1と直線2の交点:

直線1と直線2の式を足すと、

$3x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$

$y = x + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

交点: $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$

直線2と直線3の交点:

$2x + y - 2 = 0$

$x + 2y = 0$

$x = -2y$ を $2x + y - 2 = 0$ に代入すると、

$2(-2y) + y - 2 = 0$

$-4y + y - 2 = 0$

$-3y = 2$

$y = -\frac{2}{3}$

$x = -2y = -2(-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

交点: $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$

直線1と直線3の交点:

$x - y + 1 = 0$

$x + 2y = 0$

$x = -2y$ を $x - y + 1 = 0$ に代入すると、

$-2y - y + 1 = 0$

$-3y = -1$

$y = \frac{1}{3}$

$x = -2y = -2(\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$

交点: $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

3つの交点は $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$, $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$。

3つの交点をA, B, Cとすると、三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} | (x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)) |$

$S = \frac{1}{2} | (\frac{1}{3}(-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{4}{3}(\frac{1}{3} - \frac{4}{3}) + (-\frac{2}{3})(\frac{4}{3} + \frac{2}{3})) |$

$S = \frac{1}{2} | (\frac{1}{3}(-1) + \frac{4}{3}(-1) + (-\frac{2}{3})(2)) |$

$S = \frac{1}{2} | (-\frac{1}{3} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}) |$

$S = \frac{1}{2} | (-\frac{9}{3}) | = \frac{1}{2} | -3 | = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$