直線 $l: y = -2x + 6$ と直線 $m: y = \frac{3}{4}x - 5$ がある。 直線 $l, m$ と $y$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とし、2直線の交点を $P$ とする。 (1) 点 $P$ の座標を求めよ。 (2) 点 $P$ を通り、$\triangle PAB$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。 (3) 直線 $m$ 上に $\triangle PAB : \triangle PQA = 1:1$ となる点 $Q$ をとるとき、点 $Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -2x + 6$ と直線 $m: y = \frac{3}{4}x - 5$ がある。

直線 $l, m$ と $y$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とし、2直線の交点を $P$ とする。

(1) 点 $P$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P$ を通り、$\triangle PAB$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。

(3) 直線 $m$ 上に $\triangle PAB : \triangle PQA = 1:1$ となる点 $Q$ をとるとき、点 $Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -2x + 6$

$y = \frac{3}{4}x - 5$

これを解く。

$-2x + 6 = \frac{3}{4}x - 5$

$-8x + 24 = 3x - 20$

$-11x = -44$

$x = 4$

$y = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$

よって、$P(4, -2)$

(2) 点 $A, B$ はそれぞれ直線 $l, m$ と $y$ 軸との交点なので、

$A(0, 6), B(0, -5)$

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、$M(0, \frac{6 + (-5)}{2}) = M(0, \frac{1}{2})$

点 $P$ を通り、$\triangle PAB$ の面積を二等分する直線は線分 $AB$ の中点 $M$ を通る。

直線 $PM$ の式を求める。

傾きは $\frac{-2 - \frac{1}{2}}{4 - 0} = \frac{-\frac{5}{2}}{4} = -\frac{5}{8}$

$y = -\frac{5}{8}x + \frac{1}{2}$

(3) $\triangle PAB$ と $\triangle PQA$ の面積比が $1:1$ であるとき、$\triangle PAB = \triangle PQA$

これは、線分 $AB$ を底辺としたとき、点 $P$ と点 $Q$ の $y$ 軸からの距離が等しいことを意味する。つまり、$P$ と $Q$ の $x$ 座標の絶対値が等しい。

点 $P$ の $x$ 座標は $4$ なので、点 $Q$ の $x$ 座標は $x = -4$ となるか、$x = 4$ となる。ただし $Q \ne P$。

点 $Q$ は直線 $m$ 上にあるので、$y = \frac{3}{4}x - 5$ に代入する。

$x = -4$ のとき、$y = \frac{3}{4}(-4) - 5 = -3 - 5 = -8$

$x = 4$ のとき、$y = \frac{3}{4}(4) - 5 = 3 - 5 = -2$

$Q(-4, -8)$

3. 最終的な答え

(1) $P(4, -2)$

(2) $y = -\frac{5}{8}x + \frac{1}{2}$

(3) $Q(-4, -8)$