(1) 凸多面体の頂点の数 $v$、辺の数 $e$、面の数 $f$ の間の関係式を答える。 (2) 各面が正三角形、正方形、正五角形である正多面体が存在する場合、それぞれの面の数を答える。 (3) 12個の正五角形の面と20個の正六角形の面からなる凸多面体があり、どの頂点にも1個の正五角形と2個の正六角形の面が集まっている。この多面体の頂点の数と辺の数を求める。

幾何学多面体オイラーの多面体定理正多面体凸多面体頂点
2025/7/13

1. 問題の内容

(1) 凸多面体の頂点の数 vv、辺の数 ee、面の数 ff の間の関係式を答える。
(2) 各面が正三角形、正方形、正五角形である正多面体が存在する場合、それぞれの面の数を答える。
(3) 12個の正五角形の面と20個の正六角形の面からなる凸多面体があり、どの頂点にも1個の正五角形と2個の正六角形の面が集まっている。この多面体の頂点の数と辺の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) オイラーの多面体定理より、ve+f=2v - e + f = 2 が成り立つ。
(2) 各面が正三角形である正多面体は正四面体、正八面体、正二十面体が存在する。これらの面の数はそれぞれ4, 8, 20である。
各面が正方形である正多面体は立方体のみである。面の数は6である。
各面が正五角形である正多面体は正十二面体のみである。面の数は12である。
(3)
頂点の数を vv、辺の数を ee とする。
面の数は f=12+20=32f = 12 + 20 = 32
各頂点には1個の正五角形と2個の正六角形が集まっているので、3個の面が集まっている。
それぞれの面の辺の数の合計は 12×5+20×6=60+120=18012 \times 5 + 20 \times 6 = 60 + 120 = 180
各辺は2つの面で共有されるので、辺の数は e=180/2=90e = 180 / 2 = 90
オイラーの多面体定理 ve+f=2v - e + f = 2 より、
v=ef+2=9032+2=60v = e - f + 2 = 90 - 32 + 2 = 60

3. 最終的な答え

(1) 2
(2) 正三角形: 4, 8, 20。正方形: 6。正五角形: 12。
(3) 頂点の数: 60、辺の数: 90

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