半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形$T$が直角三角形になっている。 (1) $c$ を $a$ と $b$ で表せ。 (2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表せ。 (3) 三角形 $T$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形$T$が直角三角形になっている。

(1) $c$ を $a$ と $b$ で表せ。

(2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表せ。

(3) 三角形 $T$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

3つの円の中心を結んでできる三角形 $T$ の各辺の長さは $a+b$, $b+c$, $c+a$ である。$a < b < c$ より $a+b < a+c < b+c$ であるから、斜辺は $b+c$ である。

したがって、三平方の定理より、

$(a+b)^2 + (a+c)^2 = (b+c)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2$

$2a^2 + 2ab + 2ac = 2bc$

$a^2 + ab + ac = bc$

$a^2 + ab = bc - ac$

$a(a+b) = c(b-a)$

$c = \frac{a(a+b)}{b-a}$

(2)

三角形 $T$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} (a+b)(a+c)$

(1)で求めた$c$の値を代入すると

$S = \frac{1}{2} (a+b) (a + \frac{a(a+b)}{b-a})$

$S = \frac{1}{2} (a+b) (\frac{a(b-a) + a(a+b)}{b-a})$

$S = \frac{1}{2} (a+b) (\frac{ab-a^2 + a^2+ab}{b-a})$

$S = \frac{1}{2} (a+b) (\frac{2ab}{b-a})$

$S = \frac{ab(a+b)}{b-a}$

(3)

三角形 $T$ の内接円の半径 $r$ は、

$S = \frac{1}{2} r ( (a+b) + (a+c) + (b+c) )$

$S = \frac{1}{2} r (2a + 2b + 2c)$

$S = r(a+b+c)$

$r = \frac{S}{a+b+c}$

(1)と(2)の結果を代入する

$r = \frac{\frac{ab(a+b)}{b-a}}{a+b+\frac{a(a+b)}{b-a}}$

$r = \frac{ab(a+b)}{(b-a)(a+b) + a(a+b)}$

$r = \frac{ab(a+b)}{(a+b)(b-a+a)}$

$r = \frac{ab(a+b)}{(a+b)b}$

$r = a$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{a(a+b)}{b-a}$

(2) $S = \frac{ab(a+b)}{b-a}$

(3) $r = a$