空間内の3点の座標が与えられたとき、それらの点を頂点とする三角形の面積を求める問題です。問題には(1)と(2)の2つの小問が含まれています。

1. 問題の内容

空間内の3点の座標が与えられたとき、それらの点を頂点とする三角形の面積を求める問題です。問題には(1)と(2)の2つの小問が含まれています。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、2つのベクトルを用いて計算できます。具体的には、三角形の2辺をなすベクトルを求め、それらのベクトルから作られる平行四辺形の面積を計算し、その半分が三角形の面積となります。平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の絶対値で与えられます。

(1) A(0, 0, 0), B(5, 2, 3), C(1, 3, 1)の場合:

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を求めます。

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (5-0, 2-0, 3-0) = (5, 2, 3)$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-0, 3-0, 1-0) = (1, 3, 1)$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積$\vec{AB} \times \vec{AC}$を計算します。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot1 - 3\cdot3)\vec{i} - (5\cdot1 - 3\cdot1)\vec{j} + (5\cdot3 - 2\cdot1)\vec{k} = (2-9)\vec{i} - (5-3)\vec{j} + (15-2)\vec{k} = (-7, -2, 13)$

外積の絶対値を計算します。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 13^2} = \sqrt{49 + 4 + 169} = \sqrt{222}$

三角形の面積は平行四辺形の面積の半分なので、

面積 $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{222}}{2}$

(2) A(-1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(2, -3, 4)の場合:

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を求めます。

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0-(-1), 1-2, 2-3) = (1, -1, -1)$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-(-1), -3-2, 4-3) = (3, -5, 1)$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積$\vec{AB} \times \vec{AC}$を計算します。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -5 & 1 \end{vmatrix} = ((-1)\cdot1 - (-1)\cdot(-5))\vec{i} - (1\cdot1 - (-1)\cdot3)\vec{j} + (1\cdot(-5) - (-1)\cdot3)\vec{k} = (-1-5)\vec{i} - (1+3)\vec{j} + (-5+3)\vec{k} = (-6, -4, -2)$

外積の絶対値を計算します。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

三角形の面積は平行四辺形の面積の半分なので、

面積 $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{2\sqrt{14}}{2} = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{222}}{2}$

(2) $\sqrt{14}$