三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$とする。 (1)三角形ABCの面積を求めよ。 (2)内接円の半径$r$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$とする。

(1)三角形ABCの面積を求めよ。

(2)内接円の半径$r$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)三角形ABCの面積を求める。

ヘロンの公式を使う。$s = \frac{a+b+c}{2}$ とすると、$s = \frac{6+7+5}{2} = \frac{18}{2} = 9$。

面積$S$は、

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-6)(9-7)(9-5)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

(2)内接円の半径$r$を求める。

三角形の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ で表される。

(1)より、$S = 6\sqrt{6}$であり、$a+b+c = 6+7+5 = 18$なので、

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2}r \cdot 18$

$6\sqrt{6} = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積は、$6\sqrt{6}$

(2) 内接円の半径は、$\frac{2\sqrt{6}}{3}$