半径1の円Cの中心Oから距離4だけ離れた点Lから円Cに2本の接線を引く。接点をそれぞれM, Nとする。 (1) 三角形LMNの面積を求める。 (2) 三角形LMNの内接円の半径rと、三角形LMNの外接円の半径Rをそれぞれ求める。

1. 問題の内容

半径1の円Cの中心Oから距離4だけ離れた点Lから円Cに2本の接線を引く。接点をそれぞれM, Nとする。

(1) 三角形LMNの面積を求める。

(2) 三角形LMNの内接円の半径rと、三角形LMNの外接円の半径Rをそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、OMとOL、ONとOLはそれぞれ直交する。したがって、三角形OMNは、OM = ON = 1, OL = 4の直角三角形となる。

$LM = LN$である。三平方の定理より、$LM = \sqrt{OL^2 - OM^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。

$MN$の中点をPとすると、$OP \perp MN$となる。$\triangle OML$と$\triangle MPL$は相似である。

$\frac{MP}{OM} = \frac{LM}{OL}$より、$MP = \frac{OM \cdot LM}{OL} = \frac{1 \cdot \sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$MN = 2MP = \frac{\sqrt{15}}{2}$

$LP = \sqrt{LM^2 - MP^2} = \sqrt{15 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4}$

三角形LMNの面積は$\frac{1}{2} \cdot MN \cdot LP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{16}$

(2)

内接円の半径rを求める。

三角形LMNの面積Sは、$S = \frac{1}{2}r(LM + LN + MN) = \frac{1}{2}r(2\sqrt{15} + \frac{\sqrt{15}}{2}) = \frac{1}{2}r(\frac{5\sqrt{15}}{2}) = \frac{5\sqrt{15}}{4}r$

(1)より、$S = \frac{15\sqrt{15}}{16}$だから、$\frac{5\sqrt{15}}{4}r = \frac{15\sqrt{15}}{16}$

$r = \frac{15\sqrt{15}}{16} \cdot \frac{4}{5\sqrt{15}} = \frac{3}{4}$

外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、$\frac{MN}{\sin{\angle MLN}} = 2R$

$\sin{\angle MLN} = \frac{OM}{OL} = \frac{1}{4}$

$\angle MON = 2 \angle MLN$

$ON^2 = OL^2 + LN^2 - 2OL\cdot LN\cos{\angle MLN}$

$MN^2 = LM^2 + LN^2 - 2 LM LN cos(\angle MLN)$

$\frac{MN}{\sin(\angle MLN)} = 2R$

$\angle MLN = 2 \angle MOL$. $\sin(\angle MOL) = \frac{1}{4}$

$2R = \frac{MN}{\sin(\angle MLN)} = \frac{\sqrt{15}/2}{\sin(\angle MLN)}$

$\sin(\angle MLN) = 2\sin(\angle MOL)\cos(\angle MOL) = 2(\frac{1}{4})(\frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$2R = \frac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{15}/8} = 4$

$R = 2$

3. 最終的な答え

(1) 三角形LMNの面積: $\frac{15\sqrt{15}}{16}$

(2) 内接円の半径r: $\frac{3}{4}$

外接円の半径R: 2