半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形 $T$ が直角三角形になっている。 (1) $c$ を $a$ と $b$ で表せ。 (2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表せ。 (3) 三角形 $T$ の内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形 $T$ が直角三角形になっている。

(1) $c$ を $a$ と $b$ で表せ。

(2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表せ。

(3) 三角形 $T$ の内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形 $T$ の各辺の長さは、$a+b$, $b+c$, $c+a$ であり、$a < b < c$ より、$c+a$ が斜辺である。

したがって、三平方の定理より、

$$(a+b)^2 + (b+c)^2 = (c+a)^2$$

$$a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 = c^2 + 2ac + a^2$$

$$2ab + 2b^2 + 2bc = 2ac$$

$$ab + b^2 + bc = ac$$

$$c(a-b) = ab + b^2$$

$$c = \frac{ab + b^2}{a-b}$$

(2)

三角形 $T$ は直角三角形なので、面積は

$$\frac{1}{2} (a+b)(b+c)$$

(1) で求めた $c$ を代入すると、

$$\frac{1}{2} (a+b) \left(b + \frac{ab+b^2}{a-b}\right) = \frac{1}{2}(a+b) \left(\frac{ab-b^2 + ab + b^2}{a-b}\right) = \frac{1}{2}(a+b)\left(\frac{2ab}{a-b}\right) = \frac{ab(a+b)}{a-b}$$

(3)

直角三角形の内接円の半径 $r$ は、

$$r = \frac{(a+b)+(b+c)-(c+a)}{2} = \frac{2b}{2} = b$$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{b(a+b)}{a-b}$

(2) $\frac{ab(a+b)}{a-b}$

(3) $b$