三角形OABと三角形OPQがあり、線分ABとPQの交点をRとする。点Pは線分OAを4:1に内分し、点Rは線分ABを1:1に内分する（つまり、中点）。このとき、点Bが線分OQを何対何に内分するかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形OABと三角形OPQがあり、線分ABとPQの交点をRとする。点Pは線分OAを4:1に内分し、点Rは線分ABを1:1に内分する（つまり、中点）。このとき、点Bが線分OQを何対何に内分するかを求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解きます。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OQ} = \vec{q}$ とします。

点Pは線分OAを4:1に内分するので、

$$\vec{OP} = \frac{4\vec{a}}{5}$$

点Rは線分ABの中点なので、

$$\vec{OR} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$$

$$\vec{OB} = 2\vec{OR} - \vec{OA}$$

点Rは線分PQ上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$\vec{OR} = (1-k)\vec{OP} + k\vec{OQ}$$

$$\vec{OR} = (1-k)\frac{4\vec{a}}{5} + k\vec{q}$$

$\vec{OB} = 2\vec{OR} - \vec{OA}$ に $\vec{OR} = (1-k)\frac{4\vec{a}}{5} + k\vec{q}$ を代入すると、

$$\vec{OB} = 2\left((1-k)\frac{4\vec{a}}{5} + k\vec{q}\right) - \vec{a}$$

$$\vec{OB} = \left(\frac{8(1-k)}{5} - 1\right)\vec{a} + 2k\vec{q}$$

$$\vec{OB} = \left(\frac{8}{5} - \frac{8k}{5} - 1\right)\vec{a} + 2k\vec{q}$$

$$\vec{OB} = \left(\frac{3}{5} - \frac{8k}{5}\right)\vec{a} + 2k\vec{q}$$

点Bは線分OQ上にあるので、$\vec{OB} = l\vec{q}$ と表せる。

従って、$\vec{a}$ の係数が0となるから、

$$\frac{3}{5} - \frac{8k}{5} = 0$$

$$3 = 8k$$

$$k = \frac{3}{8}$$

したがって、

$$\vec{OB} = 2k\vec{q} = 2\left(\frac{3}{8}\right)\vec{q} = \frac{3}{4}\vec{q}$$

点Bは線分OQを3:1に内分する。

3. 最終的な答え

3:1