次の方程式で表される2直線のなす角を求める問題です。 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$ $\frac{x+3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

次の方程式で表される2直線のなす角を求める問題です。

$\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$

$\frac{x+3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の方程式から方向ベクトルを読み取ります。

1つ目の直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$ の方向ベクトルは $\vec{a} = (2, -6, 2\sqrt{2})$ です。

2つ目の直線 $\frac{x+3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$ の方向ベクトルは $\vec{b} = (-1, 2, -\sqrt{2})$ です。

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、内積を使って次のように求められます。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-6)(2) + (2\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -2 - 12 - 4 = -18$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 36 + 8} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 4 + 2} = \sqrt{7}$

$\cos \theta = \frac{-18}{4\sqrt{3} \sqrt{7}} = \frac{-18}{4\sqrt{21}} = \frac{-9}{2\sqrt{21}} = \frac{-9\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{-3\sqrt{21}}{14}$

したがって、$\theta = \arccos(\frac{-3\sqrt{21}}{14})$です。

直線がなす角は、$\theta$ と $\pi-\theta$ のうち小さい方なので、鋭角のほうを採用します。

ここで$\arccos(x)$ は、$x$ が負の時、$\pi/2$ より大きくなるので、$\pi-\theta$を求める必要はないです。

3. 最終的な答え

$\arccos(\frac{-3\sqrt{21}}{14})$