2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられている。$l_1$ は $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ であり、$l_2$ は $x = 3 + kt, y = 2t, z = 1 - 4t$ (ここで $t$ は実数) である。これらの2つの直線が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられている。$l_1$ は $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ であり、$l_2$ は $x = 3 + kt, y = 2t, z = 1 - 4t$ (ここで $t$ は実数) である。これらの2つの直線が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線が垂直であるための条件は、それぞれの方向ベクトルの内積が0になることである。

まず、$l_1$ の方向ベクトル $\vec{v_1}$ を求める。$l_1$ の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_1} = (3, -5, 2)$ である。

次に、$l_2$ の方向ベクトル $\vec{v_2}$ を求める。$l_2$ の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_2} = (k, 2, -4)$ である。

2つの直線が垂直であるためには、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ である必要がある。

したがって、

$3k + (-5)(2) + (2)(-4) = 0$

$3k - 10 - 8 = 0$

$3k - 18 = 0$

$3k = 18$

$k = 6$

3. 最終的な答え

$k = 6$