三角形ABCにおいて、AB=5、BC=8、∠B=60°であるとき、辺CAの長さを求める問題です。

幾何学三角形余弦定理辺の長さ
2025/7/16

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=5、BC=8、∠B=60°であるとき、辺CAの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って辺CAの長さを求めます。余弦定理は、三角形の任意の辺の長さとその対角の余弦の関係を表す定理です。具体的には、三角形ABCにおいて、辺CAの長さをaa、辺ABの長さをcc、辺BCの長さをbb、∠Bの大きさをBBとすると、以下の式が成り立ちます。
a2=b2+c22bccosBa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{B}
この問題の場合、a=CAa = CAb=BC=8b = BC = 8c=AB=5c = AB = 5、そしてB=60B = 60^\circです。cos60=12\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}なので、これらの値を代入すると、
CA2=82+5228512CA^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}
CA2=64+2540CA^2 = 64 + 25 - 40
CA2=49CA^2 = 49
したがって、CA=49=7CA = \sqrt{49} = 7となります。

3. 最終的な答え

7

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