$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ である。このとき、$\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{3}{4}$ である。このとき、$\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\sin \theta = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$(\frac{3}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

ここで、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ という条件から、$\cos \theta$ の符号を決定する。

第2象限では、$\cos \theta$ は負の値を取るので、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{7}}{4}$