2つの平面 $2x + 6y - 3z + 1 = 0$ と $4x - 9y + z - 3 = 0$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

2つの平面 $2x + 6y - 3z + 1 = 0$ と $4x - 9y + z - 3 = 0$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

2つの平面の法線ベクトルをそれぞれ $n_1$, $n_2$ とする。

平面 $ax+by+cz+d=0$ の法線ベクトルは $(a,b,c)$ で与えられる。

したがって、

$n_1 = (2, 6, -3)$

$n_2 = (4, -9, 1)$

2つの平面のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos\theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{||n_1|| \cdot ||n_2||}$

ここで、

$n_1 \cdot n_2 = (2)(4) + (6)(-9) + (-3)(1) = 8 - 54 - 3 = -49$

$||n_1|| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$

$||n_2|| = \sqrt{4^2 + (-9)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 81 + 1} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$

したがって、

$\cos\theta = \frac{|-49|}{7 \cdot 7\sqrt{2}} = \frac{49}{49\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ゆえに、 $\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$ (または45度)