2つの線分ABとCDが点Pで交わり、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ を満たす。$\angle ABC = 30^\circ$, $\angle BAD = 20^\circ$ のとき、$\angle APC$ を求める。さらに、線分ACと線分DBが平行になるとき、$\angle ACD$ を求める。

1. 問題の内容

2つの線分ABとCDが点Pで交わり、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ を満たす。$\angle ABC = 30^\circ$, $\angle BAD = 20^\circ$ のとき、$\angle APC$ を求める。さらに、線分ACと線分DBが平行になるとき、$\angle ACD$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$より、$\triangle PAD \sim \triangle PCB$ となる。

したがって、$\angle PAD = \angle PCB$ および $\angle PDA = \angle PBC$ が成り立つ。

$\angle PAD = \angle BAD = 20^\circ$ より、$\angle PCB = 20^\circ$である。

$\angle APC = \angle PBC + \angle PCB$、ここで$\angle PBC$を求める。

$\angle PBC = \angle ABC - \angle ABP$ だが、$\triangle PAD \sim \triangle PCB$から$\angle PDA = \angle PBC$であるので、直接求めることは難しい。

$\angle APC = \angle BAD + \angle ABC$が成り立つ。

$\angle APC = \angle PAD + \angle PBC$である．ここで、$\angle ABC$と$\angle BAD$から$\angle APC$を求めることを考える．

四角形ABDCを考えると，

$\angle BAC + \angle ABD + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$が成り立つ．

$\angle APC$は$\angle BAD + \angle ABC$で表されることが予想できる．

$\angle BAD = 20^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$より、$\angle APC = 50^\circ$

次に、線分ACと線分DBが平行になるときを考える。

AC//DBより、錯角は等しいので、$\angle ACD = \angle CDB$。また、$\angle CAD = \angle ADB$となる。

$\angle ACD = x$ とすると、$\angle CDB = x$

$\triangle PCD$において、$\angle CPD = 180^\circ - \angle APC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

$\angle PCD + \angle PDC + \angle DPC = 180^\circ$

$\angle PCD = \angle BCD - \angle PCB = \angle BCD - 20^\circ$

$\angle PCD + x + 130 = 180$

$\angle PCD = 50 - x$

AC//BDより、$\angle CAD = \angle BDA$

$\angle BAC = y$とすると、$\angle CAB = \angle CAD - 20$

ACとDBが平行なので、$\angle ACB = \angle DBC$。

また、四角形ACBDにおいて、$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDB + \angle DBA = 360$

AC//DBより$\angle CAD = \angle ADB$であり、$\angle ACB = \angle DBC$なので、

$\triangle PAD \sim \triangle PCB$より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$を満たす四角形ACBDは円に内接する。

したがって、$\angle ACD = \angle ABD$である。

$\angle ABD = \angle ABC = 30$なので、$\angle ACD = 30$

3. 最終的な答え

$\angle APC = 50^\circ$

$\angle ACD = 30^\circ$