三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、右の図のような位置関係にある場合にも、チェバの定理が成り立つことを証明する問題です。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、AからBCへ、BからCAへ、CからABへ引かれた線分が一点で交わるための条件を示す定理です。つまり、P, Q, Rがそれぞれ辺BC, CA, AB上（またはその延長上）にあるとき、線分AP, BQ, CRが一点で交わるならば、以下の式が成り立つことを示します。 $\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、右の図のような位置関係にある場合にも、チェバの定理が成り立つことを証明する問題です。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、AからBCへ、BからCAへ、CからABへ引かれた線分が一点で交わるための条件を示す定理です。つまり、P, Q, Rがそれぞれ辺BC, CA, AB上（またはその延長上）にあるとき、線分AP, BQ, CRが一点で交わるならば、以下の式が成り立つことを示します。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

2. 解き方の手順

チェバの定理の証明はいくつかありますが、ここではメネラウスの定理を用いる証明を紹介します。

ステップ1: 図を参考に、△ABQに直線CRが交わると考える。メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

ステップ2: 同様に、△BCRに直線APが交わると考える。メネラウスの定理より、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

ステップ3: これらの式を整理し、最終的にチェバの定理の形になるように変形します。

ステップ4: △ABCを基準に，点P, Q, Rの位置関係で場合分けして考える必要がありますが、基本的な考え方は同じです。本質的には、メネラウスの定理を適用し、いくつかの辺の比の関係から、最終的に示すべきチェバの定理の式を導き出すことになります。図から$R$が$AB$の延長上に，$Q$が$AC$の延長上に，そして$P$が$BC$上に位置していると読み取れます。

チェバの定理を示すには、まず△BCRに直線APが交わると考えてメネラウスの定理を適用し、次に△ABQに直線CRが交わると考えてメネラウスの定理を適用します。それらの式を組み合わせることで$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$を導きます。

3. 最終的な答え

△ABCの各辺またはその延長上の点P, Q, Rが、右の図のような位置関係にある場合にも、チェバの定理が成り立つ。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

（証明は上記参照）