座標空間に2点A(0, 1, 0), B(2, 0, 1)がある。線分ABをx軸のまわりに回転して得られる立体と、2平面$x = 0, x = 2$で囲まれる部分の体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間に2点A(0, 1, 0), B(2, 0, 1)がある。線分ABをx軸のまわりに回転して得られる立体と、2平面$x = 0, x = 2$で囲まれる部分の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

線分ABを表す式を求める。点Aと点Bを通る直線は、

$\vec{AB} = (2, -1, 1)$

より、媒介変数tを用いて、

$(x, y, z) = (0, 1, 0) + t(2, -1, 1) = (2t, 1-t, t)$

と表せる。

$x = 2t$より、$t = \frac{x}{2}$であるから、

$y = 1 - \frac{x}{2}$

$z = \frac{x}{2}$

線分ABをx軸のまわりに回転してできる立体の$x$座標が$x$である断面は、半径$r$の円となる。この半径$r$は、

$r^2 = y^2 + z^2$

$r^2 = (1 - \frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2 = 1 - x + \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{2} - x + 1$

である。

求める体積は、xの範囲が0から2であるから、

$V = \int_{0}^{2} \pi r^2 dx = \pi \int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2} - x + 1) dx$

$V = \pi [\frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x]_{0}^{2} = \pi (\frac{8}{6} - \frac{4}{2} + 2) = \pi (\frac{4}{3} - 2 + 2) = \frac{4}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\pi$