三角形ABCの各辺、またはその延長線上に点P, Q, Rがあるとき、右図のような位置にある場合にも、ある定理が成り立つことを証明する問題です。ただし、問題文に定理の内容が明記されていません。図から推測すると、チェバの定理の逆が成り立つことを示す問題であると考えられます。つまり、$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 $ならば、直線AR, BP, CQは一点で交わるか、平行であることを示す問題だと考えられます。

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺、またはその延長線上に点P, Q, Rがあるとき、右図のような位置にある場合にも、ある定理が成り立つことを証明する問題です。ただし、問題文に定理の内容が明記されていません。図から推測すると、チェバの定理の逆が成り立つことを示す問題であると考えられます。つまり、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$ならば、直線AR, BP, CQは一点で交わるか、平行であることを示す問題だと考えられます。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、チェバの定理の逆を証明する必要があります。

* まず、直線ARとBPの交点をOとします。

* 次に、直線COと辺ABの交点をQ'とします。

* チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ'}{Q'A} = 1$

* 仮定より、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

* したがって、

$\frac{CQ'}{Q'A} = \frac{CQ}{QA}$

* この式は、QとQ'が点Cと点Aを同じ比率で内分することを意味します。

* したがって、QとQ'は同じ点になります。

* つまり、直線AR, BP, CQは一点Oで交わります。

3. 最終的な答え

点P, Q, Rが三角形ABCの各辺、またはその延長線上にあるとき、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$ならば、直線AR, BP, CQは一点で交わるか、平行である。 (チェバの定理の逆が成り立つ)