三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、図のような位置関係にある場合に、ある定理が成り立つことを証明する問題です。この問題文だけでは何の定理を証明するのかが不明確ですが、図の点P, Q, Rの位置関係から、チェバの定理またはメネラウスの定理を証明する問題であると考えられます。チェバの定理またはメネラウスの定理は三角形の各辺、またはその延長線上にある点に関する定理です。ここではチェバの定理が成り立つことを証明します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各頂点から対辺（またはその延長線）に引いた直線AP, BQ, CRが1点で交わるならば、以下の式が成り立つという定理です。 $\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、図のような位置関係にある場合に、ある定理が成り立つことを証明する問題です。この問題文だけでは何の定理を証明するのかが不明確ですが、図の点P, Q, Rの位置関係から、チェバの定理またはメネラウスの定理を証明する問題であると考えられます。チェバの定理またはメネラウスの定理は三角形の各辺、またはその延長線上にある点に関する定理です。ここではチェバの定理が成り立つことを証明します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各頂点から対辺（またはその延長線）に引いた直線AP, BQ, CRが1点で交わるならば、以下の式が成り立つという定理です。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

2. 解き方の手順

ここでは図の点P, Q, Rの位置関係に注意して、チェバの定理の逆が成り立つことを示すことを目指します。

AP, BQ, CRが一点で交わっているため、チェバの定理が成り立つことを示します。

チェバの定理の逆とは、三角形ABCにおいて、各頂点から対辺（またはその延長線）に引いた直線AP, BQ, CRについて、以下の式が成り立つならば、AP, BQ, CRは1点で交わるか、平行であるという定理です。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

図から、AP, BQ, CRは1点で交わっているので、チェバの定理が成り立つことを証明すれば良い。

問題文から、AP, BQ, CRが1点で交わるので、

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

3. 最終的な答え

三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあり、AP, BQ, CRが1点で交わるならば、

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

が成り立つ。 (チェバの定理)