立方体の6つの面を、与えられた色をすべて使って塗り分ける方法の数を求める問題です。ただし、隣り合う面は異なる色で塗らなければなりません。 (1) 赤、白、黒、緑、青、橙の6色を使う場合 (2) 赤、白、黒、緑、青の5色を使う場合

1. 問題の内容

立方体の6つの面を、与えられた色をすべて使って塗り分ける方法の数を求める問題です。ただし、隣り合う面は異なる色で塗らなければなりません。

(1) 赤、白、黒、緑、青、橙の6色を使う場合

(2) 赤、白、黒、緑、青の5色を使う場合

2. 解き方の手順

(1) 6色の場合

立方体を固定し、上面の色を固定します。上面の色を固定する方法は6通りあります。次に、底面の色を決めます。底面は上面の色以外の5色から選ぶことができるので、5通りの方法があります。残りの4つの側面は円順列で並べることになります。4つの異なるものを円順列で並べる方法は $(4-1)! = 3!$ 通りです。したがって、6つの異なる色で立方体を塗り分ける方法は、

$6 \times 5 \times 3! / 6 = 30$

30通りですが、回転を考慮する必要があります。上面の色を固定した時点で回転対称性はなくなります。したがって、

$5 \times 3! = 5 \times 6 = 30$ 通りとなります。

(2) 5色の場合

5色で6面を塗る場合、1つの色を2回使う必要があります。まず、2回使う色を選びます。これは5通りの方法があります。次に、その同じ色で塗る2面を決めます。2つの面が隣り合わないようにするには、向かい合う面を選ぶしかありません。よって、同じ色を塗る面を向かい合う2面に固定します。次に、残りの4つの面を4つの異なる色で塗ります。4つの面は円順列になるので、 $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。したがって、5色で立方体を塗り分ける方法は、

$5 \times 1 \times 3! = 5 \times 6 = 30$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 6色の場合：30通り

(2) 5色の場合：30通り