3点A(-1, 1), B(2, 0), C(0, 4)を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点A(-1, 1), B(2, 0), C(0, 4)を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

この円が点A, B, Cを通るので、それぞれの点の座標を代入して以下の3つの式を得ます。

点A(-1, 1)を代入:

$(-1)^2 + 1^2 + l(-1) + m(1) + n = 0$

$1 + 1 - l + m + n = 0$

$-l + m + n = -2$ ...(1)

点B(2, 0)を代入:

$2^2 + 0^2 + l(2) + m(0) + n = 0$

$4 + 2l + n = 0$

$2l + n = -4$ ...(2)

点C(0, 4)を代入:

$0^2 + 4^2 + l(0) + m(4) + n = 0$

$16 + 4m + n = 0$

$4m + n = -16$ ...(3)

(2)より $n = -2l - 4$ 。これを(1)と(3)に代入します。

(1)に代入:

$-l + m + (-2l - 4) = -2$

$-3l + m = 2$ ...(4)

(3)に代入:

$4m + (-2l - 4) = -16$

$-2l + 4m = -12$

$-l + 2m = -6$ ...(5)

(4)より $m = 3l + 2$ 。これを(5)に代入します。

$-l + 2(3l + 2) = -6$

$-l + 6l + 4 = -6$

$5l = -10$

$l = -2$

$m = 3l + 2 = 3(-2) + 2 = -6 + 2 = -4$

$n = -2l - 4 = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、$l = -2, m = -4, n = 0$なので、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

または

$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$