三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、チェバの定理が成り立つことを証明する問題です。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cからそれぞれ対辺またはその延長線上に引かれた線分AP, BQ, CRが一点で交わる（または平行である）とき、 $\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$ が成り立つというものです。特に、図のように点P, Q, Rが辺の延長上にある場合にも、この定理が成り立つことを証明する必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺またはその延長上に点P, Q, Rがあるとき、チェバの定理が成り立つことを証明する問題です。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cからそれぞれ対辺またはその延長線上に引かれた線分AP, BQ, CRが一点で交わる（または平行である）とき、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

が成り立つというものです。特に、図のように点P, Q, Rが辺の延長上にある場合にも、この定理が成り立つことを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

チェバの定理の証明には、メネラウスの定理を利用するのが一般的です。メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線lが辺BC, CA, ABまたはそれらの延長とそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

が成り立つというものです。今回は、図の状況に合わせて、以下の補助線とメネラウスの定理を適用することを考えます。

1. 直線APと辺BCの交点をP'とします。

2. 直線BQと辺CAの交点をQ'とします。

3. 直線CRと辺ABの交点をR'とします。

このとき、AP, BQ, CRが一点Oで交わると仮定します。

三角形BCRと直線APについて、メネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$

三角形ACRと直線BQについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} = 1$

三角形ABQと直線CRについて、メネラウスの定理より、

$\frac{BR}{RA} \cdot \frac{AO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

したがって、$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$が成立します。

3. 最終的な答え

チェバの定理が成り立つ。 (証明終了)