2点A(3, -2), B(1, 4)と点C(-1, 1)が与えられている。 (5) △ABCの重心の座標を求めよ。 (6) △ABCの面積を求めよ。 (7) 点Cを通り、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(3, -2), B(1, 4)と点C(-1, 1)が与えられている。

(5) △ABCの重心の座標を求めよ。

(6) △ABCの面積を求めよ。

(7) 点Cを通り、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(5) 重心の座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。

重心Gの座標を(x_G, y_G)とすると、

$x_G = \frac{3 + 1 + (-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y_G = \frac{-2 + 4 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、重心Gの座標は(1, 1)です。

(6) △ABCの面積は、ベクトルABとベクトルACを用いて計算できます。

ベクトルAB = (1 - 3, 4 - (-2)) = (-2, 6)

ベクトルAC = (-1 - 3, 1 - (-2)) = (-4, 3)

面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |(-2) \times 3 - 6 \times (-4)| = \frac{1}{2} |-6 + 24| = \frac{1}{2} |18| = 9$

したがって、△ABCの面積は9です。

(7) 点Cを通り、△ABCの面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る必要があります。

ABの中点Mの座標は、

$M = (\frac{3+1}{2}, \frac{-2+4}{2}) = (2, 1)$

点C(-1, 1)と点M(2, 1)を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾きは、

$m = \frac{1 - 1}{2 - (-1)} = \frac{0}{3} = 0$

したがって、直線はy = 1です。

3. 最終的な答え

(5) 重心の座標: (1, 1)

(6) △ABCの面積: 9

(7) 面積を2等分する直線の方程式: y = 1