円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。 (1) $\cos{\angle ABC}$と円Pの半径を求める。 (2) CDと$\cos{\angle BAD}$を求める。 (3) BEと三角形ABEの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。

(1) $\cos{\angle ABC}$と円Pの半径を求める。

(2) CDと$\cos{\angle BAD}$を求める。

(3) BEと三角形ABEの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$4^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos{\angle ABC}$

$16 = 16 + 4 - 16 \cos{\angle ABC}$

$16 \cos{\angle ABC} = 4$

$\cos{\angle ABC} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$ (Rは円Pの半径)

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$ より

$\sin^2{\angle ABC} = 1 - \cos^2{\angle ABC} = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin{\angle ABC} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (∵ $\angle ABC$は三角形の内角なので正)

よって、$2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

よって、$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^\circ - \angle ABC)} = - \cos{\angle ABC} = -\frac{1}{4}$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$4^2 = 3^2 + CD^2 - 2 \cdot 3 \cdot CD \cdot (-\frac{1}{4})$

$16 = 9 + CD^2 + \frac{3}{2}CD$

$CD^2 + \frac{3}{2}CD - 7 = 0$

$2CD^2 + 3CD - 14 = 0$

$(2CD + 7)(CD - 2) = 0$

$CD = 2, -\frac{7}{2}$

CD > 0より、$CD = 2$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$なので、$\cos{\angle BAD} = -\cos{\angle BCD}$

$\triangle BCD$において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 8 - 8 \cos{\angle BCD}$

$\triangle ABD$において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 25 - 24 \cos{\angle BAD}$

よって、$8 - 8 \cos{\angle BCD} = 25 - 24 \cos{\angle BAD}$

$8 + 8 \cos{\angle BAD} = 25 - 24 \cos{\angle BAD}$

$32 \cos{\angle BAD} = 17$

$\cos{\angle BAD} = \frac{17}{32}$

(3) $\triangle ABC \sim \triangle DEC$より、$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC} = \frac{AC}{DC}$

$\triangle ABD \sim \triangle ECB$より、$\frac{AB}{EC} = \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{BC}$

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$だから、$BE \cdot CD = AB \cdot DE$

$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$より、$AE \cdot CD = AB \cdot CE$

$CD = 2$, $AB = 4$なので、$\frac{AE}{CE} = 2$、$AE = 2CE$

$AC = AE + CE = 4$だから、$2CE + CE = 4$, $3CE = 4$, $CE = \frac{4}{3}$

$AE = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

$\frac{BE}{DE} = \frac{4}{2} = 2$より、$BE = 2DE$

また、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}$なので、

$\frac{4}{2} = \frac{\frac{8}{3}}{DE} = \frac{BE}{\frac{4}{3}}$

$2DE = \frac{8}{3}$より、$DE = \frac{4}{3}$

$BE = 2DE = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

$\triangle ABE$において、内接円の半径をrとすると、

$\triangle ABE$の面積Sは、$S = \frac{1}{2}r(AB + BE + AE) = \frac{1}{2}r(4 + \frac{8}{3} + \frac{8}{3}) = \frac{1}{2}r(\frac{12+8+8}{3}) = \frac{1}{2}r(\frac{28}{3}) = \frac{14}{3}r$

また、$S = \frac{1}{2}AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAE} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cdot \sin{\angle BAE}$

$\angle BAE = \angle CAD$

$\triangle ABD$において、$\cos{\angle BAD} = \frac{17}{32}$だったので、$\sin{\angle BAD} = \sqrt{1 - (\frac{17}{32})^2} = \sqrt{1 - \frac{289}{1024}} = \sqrt{\frac{735}{1024}} = \frac{\sqrt{735}}{32} = \frac{\sqrt{49 \cdot 15}}{32} = \frac{7\sqrt{15}}{32}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{7\sqrt{15}}{32} = \frac{28\sqrt{15}}{12} = \frac{7\sqrt{15}}{3}$

$\frac{14}{3}r = \frac{7\sqrt{15}}{3}$

$r = \frac{7\sqrt{15}}{14} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{4}$, 円Pの半径は $\frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) $CD = 2$, $\cos{\angle BAD} = \frac{17}{32}$

(3) $BE = \frac{8}{3}$, 三角形ABEの内接円の半径は $\frac{\sqrt{15}}{2}$