三角形ABCの各辺の延長と直線がそれぞれ点P, Q, Rで交わっている。このとき、以下の定理が成り立つことを証明する。 チェバの定理の逆: $\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$ が成立するならば、直線AP, BQ, CRは一点で交わるか、または平行である。 メネラウスの定理: $\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1$ が成立する。 与えられた図の状況で、メネラウスの定理を証明せよ。
2025/7/13
1. 問題の内容
三角形ABCの各辺の延長と直線がそれぞれ点P, Q, Rで交わっている。このとき、以下の定理が成り立つことを証明する。
チェバの定理の逆:
が成立するならば、直線AP, BQ, CRは一点で交わるか、または平行である。
メネラウスの定理:
が成立する。
与えられた図の状況で、メネラウスの定理を証明せよ。
2. 解き方の手順
メネラウスの定理を証明する。
三角形ABCにおいて、直線PQRが辺BCの延長、辺CA、辺ABとそれぞれP, Q, Rで交わるとする。
点Aから直線BCに平行な直線を引く。この直線と直線PQRとの交点をSとする。
三角形PBCと三角形PASに着目する。
(平行線の錯角)
(共通の角)
であるから、三角形PBCと三角形PASは相似である。
したがって、
が成り立つ。
ここで、に着目する。
三角形RQAと三角形BRQに着目する。
(錯角)
(対頂角)
であるから、三角形RQAと三角形BRQは相似である。
したがって、 が成り立つ。
これらから、メネラウスの定理を導く:
について考える。
より、
三角形ARSと三角形CRQは相似である。
より、
よって、
が成り立つ。
3. 最終的な答え
したがって、メネラウスの定理が成立する。