三角形ABCの各辺の延長と直線がそれぞれ点P, Q, Rで交わっている。このとき、以下の定理が成り立つことを証明する。 チェバの定理の逆: $\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$ が成立するならば、直線AP, BQ, CRは一点で交わるか、または平行である。 メネラウスの定理: $\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1$ が成立する。 与えられた図の状況で、メネラウスの定理を証明せよ。

幾何学幾何学三角形メネラウスの定理証明
2025/7/13

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺の延長と直線がそれぞれ点P, Q, Rで交わっている。このとき、以下の定理が成り立つことを証明する。
チェバの定理の逆:
APPBBQQCCRRA=1\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 が成立するならば、直線AP, BQ, CRは一点で交わるか、または平行である。
メネラウスの定理:
APPBBCCQQRRA=1\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1 が成立する。
与えられた図の状況で、メネラウスの定理を証明せよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を証明する。
三角形ABCにおいて、直線PQRが辺BCの延長、辺CA、辺ABとそれぞれP, Q, Rで交わるとする。
点Aから直線BCに平行な直線を引く。この直線と直線PQRとの交点をSとする。
三角形PBCと三角形PASに着目する。
PBS=PAS\angle PBS = \angle PAS (平行線の錯角)
BPS=APS\angle BPS = \angle APS (共通の角)
であるから、三角形PBCと三角形PASは相似である。
したがって、
PBPA=BCAS=PCPS\frac{PB}{PA} = \frac{BC}{AS} = \frac{PC}{PS} が成り立つ。
ここで、BCAS\frac{BC}{AS}に着目する。
三角形RQAと三角形BRQに着目する。
RAQ=RBQ\angle RAQ = \angle RBQ (錯角)
AQR=BQR\angle AQR = \angle BQR (対頂角)
であるから、三角形RQAと三角形BRQは相似である。
したがって、RARB=AQQB=RQRQ\frac{RA}{RB} = \frac{AQ}{QB} = \frac{RQ}{RQ} が成り立つ。
これらから、メネラウスの定理を導く:
APPBBCCQQRRA\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA}について考える。
APPB=ASBC\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{BC}より、AS=APBCPBAS=\frac{AP \cdot BC}{PB}
三角形ARSと三角形CRQは相似である。
RARQ=ASQC=RSRC\frac{RA}{RQ} = \frac{AS}{QC} = \frac{RS}{RC} より、ASQC=RAQR\frac{AS}{QC} = \frac{RA}{QR}
よって、AS=RAQCQRAS = \frac{RA \cdot QC}{QR}
APBCPB=RAQCQR\frac{AP \cdot BC}{PB} = \frac{RA \cdot QC}{QR}
APPBBCQCQRRA=1\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{QC} \cdot \frac{QR}{RA} = 1 が成り立つ。

3. 最終的な答え

APPBBCCQQRRA=1\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1
したがって、メネラウスの定理が成立する。

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