問題は、$\cos 15^\circ$ と $\tan 15^\circ$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\cos 15^\circ$ と $\tan 15^\circ$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

(5) $\cos 15^\circ$ の計算

$15^\circ$ は、$45^\circ - 30^\circ$ と考えることができます。

$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ の公式を使うと、

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(6) $\tan 15^\circ$ の計算

$15^\circ$ は、$45^\circ - 30^\circ$ と考えることができます。

$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ の公式を使うと、

$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$、 $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、

$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $3 - \sqrt{3}$ をかけます。

$\tan 15^\circ = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$