この問題は、$105^\circ$ や $15^\circ$ のような特定の角度に対する三角関数の値 ($\sin$, $\cos$, $\tan$) を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、$105^\circ$ や $15^\circ$ のような特定の角度に対する三角関数の値 ($\sin$, $\cos$, $\tan$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 105^\circ$ の計算:

$105^\circ$ を $60^\circ + 45^\circ$ と考え、正弦の加法定理を利用します。

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 105^\circ$ の計算:

$105^\circ$ を $60^\circ + 45^\circ$ と考え、余弦の加法定理を利用します。

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\cos 105^\circ = \cos (60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$

$\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ$ の計算:

$\tan 105^\circ = \frac{\sin 105^\circ}{\cos 105^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

分母を有理化します。

$\tan 105^\circ = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + \sqrt{6})} = \frac{2\sqrt{3}+6+2+2\sqrt{3}}{2-6} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{-4} = -2 - \sqrt{3}$

(4) $\sin 15^\circ$ の計算:

$15^\circ$ を $45^\circ - 30^\circ$ と考え、正弦の加法定理を利用します。

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$

(4) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$