直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 点 $(2, 5)$ と直線 $x - y - 2 = 0$ との距離を求めます。 (2) 点 $A(3, 7)$ と直線 $x - y - 2 = 0$ に関して対称な点 $B$ を求めます。

1. 問題の内容

直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 点 $(2, 5)$ と直線 $x - y - 2 = 0$ との距離を求めます。

(2) 点 $A(3, 7)$ と直線 $x - y - 2 = 0$ に関して対称な点 $B$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式に、$x_0 = 2$, $y_0 = 5$, $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$ を代入します。

(2) 点 $A(3, 7)$ と直線 $x - y - 2 = 0$ に関して対称な点 $B$ を $(x, y)$ とします。

$AB$ の中点 $M$ は $(\frac{3+x}{2}, \frac{7+y}{2})$ となります。

点 $M$ は直線 $x - y - 2 = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} - \frac{7+y}{2} - 2 = 0$ が成り立ちます。これを整理すると、

$3 + x - 7 - y - 4 = 0$

$x - y - 8 = 0$ ... (1)

直線 $AB$ は直線 $x - y - 2 = 0$ と直交するので、直線 $AB$ の傾きは $-1$ となります。したがって、

$\frac{y - 7}{x - 3} = -1$

$y - 7 = -x + 3$

$x + y - 10 = 0$ ... (2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) $x - y - 8 = 0$

(2) $x + y - 10 = 0$

(1) + (2) より $2x - 18 = 0$ なので $x = 9$

(2) に代入して $9 + y - 10 = 0$ より $y = 1$

したがって、点 $B$ は $(9, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) $(9, 1)$