点P(3, 1)を原点Oを中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転させた点Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点P(3, 1)を原点Oを中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転させた点Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点の回転移動の公式を使う。点$(x,y)$を原点Oを中心として$\theta$だけ回転させた点の座標$(x',y')$は、

$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$

$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$

で与えられる。

この問題では、$x=3, y=1, \theta=\frac{\pi}{4}$であるから、

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

これらを公式に代入すると、

$x' = 3\cos\frac{\pi}{4} - 1\sin\frac{\pi}{4} = 3\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$y' = 3\sin\frac{\pi}{4} + 1\cos\frac{\pi}{4} = 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

したがって、点Qの座標は$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$となる。

3. 最終的な答え

$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$