三角形ABCにおいて、点Iは内心、点Dは直線AIと辺BCの交点である。辺AB=8, AC=6, BC=10のとき、線分AI:IDの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心、点Dは直線AIと辺BCの交点である。辺AB=8, AC=6, BC=10のとき、線分AI:IDの比を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBDとDCの比を求める。

AIは角Aの二等分線なので、

$BD:DC = AB:AC = 8:6 = 4:3$

BC=10なので、

$BD = 10 \times \frac{4}{4+3} = 10 \times \frac{4}{7} = \frac{40}{7}$

次に、三角形ABDにおいてBIは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の性質により、

$AI:ID = BA:BD = 8: \frac{40}{7} = 8 \times \frac{7}{40} = 1 : \frac{5}{7} = 7:5$

3. 最終的な答え

AI:ID = 7:5