座標平面上に4点A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0)がある。実数$0 < t < 1$に対して、線分AB, BC, CDを$t: (1-t)$に内分する点をそれぞれ$P_t, Q_t, R_t$とする。線分$P_tQ_t, Q_tR_t$を$t: (1-t)$に内分する点をそれぞれ$S_t, T_t$とする。さらに、線分$S_tT_t$を$t: (1-t)$に内分する点を$U_t$とする。また、点Aを$U_0$、点Dを$U_1$とする。 (1) 点$U_t$の座標を求めよ。 (2) $t$が$0 \leq t \leq 1$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めよ。 (3) $a$を$0 < a < 1$を満たす実数とする。$t$が$0 \leq t \leq a$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に4点A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0)がある。実数$0 < t < 1$に対して、線分AB, BC, CDを$t: (1-t)$に内分する点をそれぞれ$P_t, Q_t, R_t$とする。線分$P_tQ_t, Q_tR_t$を$t: (1-t)$に内分する点をそれぞれ$S_t, T_t$とする。さらに、線分$S_tT_t$を$t: (1-t)$に内分する点を$U_t$とする。また、点Aを$U_0$、点Dを$U_1$とする。

(1) 点$U_t$の座標を求めよ。

(2) $t$が$0 \leq t \leq 1$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) $a$を$0 < a < 1$を満たす実数とする。$t$が$0 \leq t \leq a$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$P_t, Q_t, R_t, S_t, T_t, U_t$の座標を順に計算する。

$P_t = (1-t)A + tB = (0, t)$

$Q_t = (1-t)B + tC = (t, 1)$

$R_t = (1-t)C + tD = (1, 1-t)$

$S_t = (1-t)P_t + tQ_t = (1-t)(0, t) + t(t, 1) = (t^2, t-t^2+t) = (t^2, 2t-t^2)$

$T_t = (1-t)Q_t + tR_t = (1-t)(t, 1) + t(1, 1-t) = (t-t^2+t, 1-t+t-t^2) = (2t-t^2, 1-t^2)$

$U_t = (1-t)S_t + tT_t = (1-t)(t^2, 2t-t^2) + t(2t-t^2, 1-t^2) = (t^2-t^3+2t^2-t^3, 2t-t^2-2t^2+t^3+t-t^3) = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$

(2) $U_t = (x, y)$とおくと、$x = 3t^2 - 2t^3$, $y = 3t - 3t^2$である。$t$が$0 \leq t \leq 1$のとき、$U_t$が描く曲線と線分ADで囲まれた部分の面積は、$\int_0^1 y dx$で計算できる。$x = 3t^2 - 2t^3$より、$dx = (6t - 6t^2) dt$。したがって、

$\int_0^1 y dx = \int_0^1 (3t - 3t^2) (6t - 6t^2) dt = \int_0^1 (18t^2 - 18t^3 - 18t^3 + 18t^4) dt = \int_0^1 (18t^2 - 36t^3 + 18t^4) dt = [6t^3 - 9t^4 + \frac{18}{5}t^5]_0^1 = 6 - 9 + \frac{18}{5} = -3 + \frac{18}{5} = \frac{-15 + 18}{5} = \frac{3}{5}$

(3) $U_t = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$より、

$\frac{dx}{dt} = 6t - 6t^2$

$\frac{dy}{dt} = 3 - 6t$

曲線の長さは$\int_0^a \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$で計算できる。

\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{(6t - 6t^2)^2 + (3 - 6t)^2} = \sqrt{36t^2 - 72t^3 + 36t^4 + 9 - 36t + 36t^2} = \sqrt{36t^4 - 72t^3 + 72t^2 - 36t + 9} = \sqrt{9(4t^4 - 8t^3 + 8t^2 - 4t + 1)} = 3\sqrt{4t^4 - 8t^3 + 8t^2 - 4t + 1} = 3\sqrt{(2t^2 - 2t + 1)^2} = 3|2t^2 - 2t + 1} = 3(2t^2 - 2t + 1) ($2t^2 - 2t + 1 = 2(t^2 - t) + 1 = 2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$より)

したがって、曲線の長さは

$\int_0^a 3(2t^2 - 2t + 1) dt = 3 \int_0^a (2t^2 - 2t + 1) dt = 3 [\frac{2}{3}t^3 - t^2 + t]_0^a = 3 (\frac{2}{3}a^3 - a^2 + a) = 2a^3 - 3a^2 + 3a$

3. 最終的な答え

(1) $U_t = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $2a^3 - 3a^2 + 3a$