2つの円の式が与えられています。 $x^2 + y^2 = 20$ … (1) $x^2 + y^2 - 9x + 3y + 10 = 0$ … (2) これらの円の共有点の座標を求めます。

1. 問題の内容

2つの円の式が与えられています。

$x^2 + y^2 = 20$ … (1)

$x^2 + y^2 - 9x + 3y + 10 = 0$ … (2)

これらの円の共有点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(2)式から(1)式を引くと、$x^2$と$y^2$が消去され、$x$と$y$に関する一次方程式が得られます。

(2) - (1)より、

$(x^2 + y^2 - 9x + 3y + 10) - (x^2 + y^2) = 0 - 20$

$-9x + 3y + 10 = -20$

$-9x + 3y = -30$

$3y = 9x - 30$

$y = 3x - 10$ … (3)

(3)式を(1)式に代入して、$x$に関する二次方程式を解きます。

$x^2 + (3x - 10)^2 = 20$

$x^2 + (9x^2 - 60x + 100) = 20$

$10x^2 - 60x + 80 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x = 4$

$x = 2$のとき、(3)式より$y = 3(2) - 10 = 6 - 10 = -4$

$x = 4$のとき、(3)式より$y = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2$

3. 最終的な答え

共有点の座標は、(2, -4) と (4, 2) です。