四面体OABCにおいて、辺OAの中点をP, 辺BCを2:1に内分する点をQ, 辺OCを1:3に内分する点をR, 辺ABを1:6に内分する点をSとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、 (1) $\vec{OQ}$, $\vec{OS}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。 (2) 直線PQと直線RSが交わるとき、その交点をTとする。$\vec{OT}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をP, 辺BCを2:1に内分する点をQ, 辺OCを1:3に内分する点をR, 辺ABを1:6に内分する点をSとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、

(1) $\vec{OQ}$, $\vec{OS}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。

(2) 直線PQと直線RSが交わるとき、その交点をTとする。$\vec{OT}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OQ}$と$\vec{OS}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

点Qは辺BCを2:1に内分するので、

$$\vec{OQ} = \frac{1}{3} \vec{OB} + \frac{2}{3} \vec{OC} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$$

点Sは辺ABを1:6に内分するので、

$$\vec{OS} = \frac{6}{7} \vec{OA} + \frac{1}{7} \vec{OB} = \frac{6}{7} \vec{a} + \frac{1}{7} \vec{b}$$

(2) 直線PQと直線RSの交点をTとする。$\vec{OT}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

点Tは直線PQ上にあるので、実数$k$を用いて

$$\vec{OT} = (1-k) \vec{OP} + k \vec{OQ} = (1-k) \frac{1}{2} \vec{a} + k (\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}) = \frac{1-k}{2} \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{b} + \frac{2k}{3} \vec{c}$$

点Tは直線RS上にあるので、実数$l$を用いて

$$\vec{OT} = (1-l) \vec{OR} + l \vec{OS} = (1-l) \frac{1}{4} \vec{c} + l (\frac{6}{7} \vec{a} + \frac{1}{7} \vec{b}) = \frac{6l}{7} \vec{a} + \frac{l}{7} \vec{b} + \frac{1-l}{4} \vec{c}$$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$$\frac{1-k}{2} = \frac{6l}{7}, \quad \frac{k}{3} = \frac{l}{7}, \quad \frac{2k}{3} = \frac{1-l}{4}$$

第2式より$l = \frac{7k}{3}$。これを第1式に代入して

$$\frac{1-k}{2} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7k}{3} = 2k$$

$$1-k = 4k \implies 5k = 1 \implies k = \frac{1}{5}$$

よって、$l = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{15}$.

したがって、

$$\vec{OT} = \frac{1-\frac{1}{5}}{2} \vec{a} + \frac{\frac{1}{5}}{3} \vec{b} + \frac{2\cdot \frac{1}{5}}{3} \vec{c} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{15} \vec{b} + \frac{2}{15} \vec{c}$$

または、

$$\vec{OT} = \frac{6 \cdot \frac{7}{15}}{7} \vec{a} + \frac{\frac{7}{15}}{7} \vec{b} + \frac{1-\frac{7}{15}}{4} \vec{c} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{15} \vec{b} + \frac{2}{15} \vec{c}$$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OQ} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$, $\vec{OS} = \frac{6}{7} \vec{a} + \frac{1}{7} \vec{b}$

(2) $\vec{OT} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{15} \vec{b} + \frac{2}{15} \vec{c}$