四面体ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=\sqrt{13}$, $AD=BD=CD=CA=5$が与えられている。 (1) $\angle BAC = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ および $\sin \theta$ の値を求める。 (2) $\triangle ABC$ の面積を求める。 (3) 頂点Dから$\triangle ABC$に下ろした垂線をDHとするとき、$AH=BH=CH$が成り立つことを示し、$AH$を求める。 (4) 四面体ABCDの体積を求める。 (5) 頂点Bから$\triangle ACD$に下ろした垂線の長さを求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=\sqrt{13}$, $AD=BD=CD=CA=5$が与えられている。

(1) $\angle BAC = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ および $\sin \theta$ の値を求める。

(2) $\triangle ABC$ の面積を求める。

(3) 頂点Dから$\triangle ABC$に下ろした垂線をDHとするとき、$AH=BH=CH$が成り立つことを示し、$AH$を求める。

(4) 四面体ABCDの体積を求める。

(5) 頂点Bから$\triangle ACD$に下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において余弦定理を用いる。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \theta$

$(\sqrt{13})^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \theta$

$13 = 36 + 25 - 60 \cos \theta$

$60 \cos \theta = 48$

$\cos \theta = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (∵ $0 < \theta < \pi$なので$\sin \theta > 0$)

(2) $\triangle ABC$ の面積Sは

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$

(3) $AD=BD=CD=5$より、点Dから$\triangle ABC$に下ろした垂線の足Hは$\triangle ABC$の外心である。

また、$AH = BH = CH$が成り立つ。

$\triangle ABC$の外接円の半径をRとすると、正弦定理より

$\frac{BC}{\sin \theta} = 2R$

$\frac{\sqrt{13}}{\frac{3}{5}} = 2R$

$2R = \frac{5\sqrt{13}}{3}$

$R = \frac{5\sqrt{13}}{6}$

$AH = R = \frac{5\sqrt{13}}{6}$

(4) DHの長さを求める。

$\triangle ADH$は直角三角形なので、$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 5^2 - (\frac{5\sqrt{13}}{6})^2 = 25 - \frac{25 \cdot 13}{36} = 25(1 - \frac{13}{36}) = 25 \cdot \frac{23}{36} = \frac{575}{36}$

$DH = \sqrt{\frac{575}{36}} = \frac{5\sqrt{23}}{6}$

四面体ABCDの体積Vは

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle ABC \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{5\sqrt{23}}{6} = \frac{3 \cdot 5\sqrt{23}}{6} = \frac{5\sqrt{23}}{2}$

(5) $\triangle ACD$の面積を求める。$\triangle ACD$は$AC=AD=CD=5$の正三角形なので、

$\triangle ACD = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

頂点Bから$\triangle ACD$に下ろした垂線の長さをhとすると、四面体ABCDの体積Vは

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle ACD \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot h$

$\frac{5\sqrt{23}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{12} \cdot h$

$h = \frac{5\sqrt{23}}{2} \cdot \frac{12}{25\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{23}}{1} \cdot \frac{6}{5\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{23}}{5\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{69}}{15} = \frac{2\sqrt{69}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{4}{5}$, $\sin \theta = \frac{3}{5}$

(2) $\triangle ABC = 9$

(3) $AH = \frac{5\sqrt{13}}{6}$

(4) 四面体ABCDの体積 = $\frac{5\sqrt{23}}{2}$

(5) 頂点Bから$\triangle ACD$に下ろした垂線の長さ = $\frac{2\sqrt{69}}{5}$