座標平面上の4点 $A(0,0)$, $B(0,1)$, $C(1,1)$, $D(1,0)$ が与えられています。 実数 $0<t<1$ に対して、線分 $AB$, $BC$, $CD$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $P_t$, $Q_t$, $R_t$ とします。 線分 $P_tQ_t$, $Q_tR_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $S_t$, $T_t$ とします。 線分 $S_tT_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $U_t$ とします。 また、$A$ を $U_0$, $D$ を $U_1$ とします。 (1) 点 $U_t$ の座標を求めよ。 (2) $0 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、点 $U_t$ が描く曲線と線分 $AD$ で囲まれた部分の面積を求めよ。 (3) $0 < a < 1$ を満たす実数 $a$ に対して、$0 \le t \le a$ の範囲を動くとき、点 $U_t$ が描く曲線の長さを、$a$ の多項式で求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 $A(0,0)$, $B(0,1)$, $C(1,1)$, $D(1,0)$ が与えられています。

実数 $0<t<1$ に対して、線分 $AB$, $BC$, $CD$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $P_t$, $Q_t$, $R_t$ とします。

線分 $P_tQ_t$, $Q_tR_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $S_t$, $T_t$ とします。

線分 $S_tT_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $U_t$ とします。

また、$A$ を $U_0$, $D$ を $U_1$ とします。

(1) 点 $U_t$ の座標を求めよ。

(2) $0 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、点 $U_t$ が描く曲線と線分 $AD$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) $0 < a < 1$ を満たす実数 $a$ に対して、$0 \le t \le a$ の範囲を動くとき、点 $U_t$ が描く曲線の長さを、$a$ の多項式で求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P_t, Q_t, R_t$ の座標を順に求めていきます。次に、$S_t, T_t$ の座標を求め、$U_t$ の座標を求めます。内分点の公式を利用します。

$P_t = (1-t)A + tB = (1-t)(0,0) + t(0,1) = (0,t)$

$Q_t = (1-t)B + tC = (1-t)(0,1) + t(1,1) = (t,1)$

$R_t = (1-t)C + tD = (1-t)(1,1) + t(1,0) = (1,1-t)$

$S_t = (1-t)P_t + tQ_t = (1-t)(0,t) + t(t,1) = (t^2, t(1-t)+t) = (t^2, 2t-t^2)$

$T_t = (1-t)Q_t + tR_t = (1-t)(t,1) + t(1,1-t) = (t(1-t)+t, (1-t)+t(1-t)) = (2t-t^2, 1-t^2)$

$U_t = (1-t)S_t + tT_t = (1-t)(t^2, 2t-t^2) + t(2t-t^2, 1-t^2) = ((1-t)t^2 + t(2t-t^2), (1-t)(2t-t^2) + t(1-t^2)) = (t^2-t^3+2t^2-t^3, 2t-t^2-2t^2+t^3 + t-t^3) = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$

(2) $U_t = (x(t), y(t)) = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$

$U_t$ が描く曲線と線分 $AD$ で囲まれた部分の面積は、$\int_0^1 y(t) x'(t) dt$ で計算できます。

$x(t) = 3t^2 - 2t^3$ より、 $x'(t) = 6t - 6t^2 = 6t(1-t)$

$y(t) = 3t - 3t^2$

$\int_0^1 (3t - 3t^2)(6t - 6t^2) dt = \int_0^1 (18t^2 - 18t^3 - 18t^3 + 18t^4) dt = \int_0^1 (18t^2 - 36t^3 + 18t^4) dt = [6t^3 - 9t^4 + \frac{18}{5}t^5]_0^1 = 6 - 9 + \frac{18}{5} = -3 + \frac{18}{5} = \frac{-15+18}{5} = \frac{3}{5}$

(3) $x'(t) = 6t - 6t^2$, $y'(t) = 3 - 6t$

曲線の長さ $L = \int_0^a \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt = \int_0^a \sqrt{(6t-6t^2)^2 + (3-6t)^2} dt = \int_0^a \sqrt{36t^2(1-t)^2 + 9(1-2t)^2} dt = \int_0^a \sqrt{36t^2(1-2t+t^2) + 9(1-4t+4t^2)} dt = \int_0^a \sqrt{36t^2 - 72t^3 + 36t^4 + 9 - 36t + 36t^2} dt = \int_0^a \sqrt{36t^4 - 72t^3 + 72t^2 - 36t + 9} dt = \int_0^a \sqrt{(6t^2-6t+3)^2} dt = \int_0^a |6t^2-6t+3| dt$

$6t^2 - 6t + 3 = 6(t^2 - t + \frac{1}{4}) - \frac{6}{4} + 3 = 6(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{6}{4} > 0$ なので、

$\int_0^a (6t^2 - 6t + 3) dt = [2t^3 - 3t^2 + 3t]_0^a = 2a^3 - 3a^2 + 3a$

3. 最終的な答え

(1) $U_t = (3t^2-2t^3, 3t-3t^2)$

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $2a^3 - 3a^2 + 3a$